Номер 18.10, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.10. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через вершину $A$ и середины $E$ и $F$ ребер $SB$ и $SD$ соответственно (рис. 18.17).

Рис. 18.17

Дано: Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Точка $S$ — вершина пирамиды, $ABCD$ — квадрат в основании. Точки $E$ и $F$ — середины ребер $SB$ и $SD$ соответственно. Плоскость сечения проходит через вершину $A$ и точки $E$ и $F$.

Найти: Построить сечение пирамиды данной плоскостью.

Решение:

Для построения сечения пирамиды плоскостью, заданной тремя точками $A, E, F$, необходимо найти все точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды и соединить их последовательно.

1. Соединение заданных точек:
Точки $A$ и $E$ лежат в одной грани $SAB$. Соединим их отрезком $AE$.
Точки $A$ и $F$ лежат в одной грани $SAD$. Соединим их отрезком $AF$.
Точки $E$ и $F$ лежат в одной грани $SBD$. Соединим их отрезком $EF$.

2. Определение свойств отрезка $EF$:
Так как $E$ — середина ребра $SB$, а $F$ — середина ребра $SD$, то отрезок $EF$ является средней линией треугольника $SBD$.
Следовательно, $EF \parallel BD$.

3. Нахождение четвертой точки сечения на ребре $SC$:
Плоскость сечения $AEF$ содержит отрезок $EF$, который параллелен диагонали $BD$ основания.
Построим диагонали основания $AC$ и $BD$. Пусть $O$ — точка их пересечения (центр основания).
Проведем высоту пирамиды $SO$.
Так как $EF \parallel BD$, а $O$ является серединой $BD$, то отрезок $EF$ пересечет $SO$ в ее середине. Обозначим эту точку $M$.
Таким образом, точка $M$ является серединой $SO$.
Рассмотрим диагональную плоскость $SAC$. В этой плоскости лежат точки $A, S, O, C$.
Точки $A$ и $M$ принадлежат плоскости сечения $AEF$ и лежат в плоскости $SAC$. Следовательно, линия $AM$ является линией пересечения плоскости $AEF$ и плоскости $SAC$.
Проведем прямую $AM$. Эта прямая пересечет ребро $SC$ в некоторой точке $P$. Точка $P$ является четвертой вершиной искомого сечения.
Для определения точного положения точки $P$ на ребре $SC$:
В плоскости $\triangle SAC$ точка $O$ является серединой $AC$, а точка $M$ является серединой $SO$.
Рассмотрим $\triangle SOC$. Прямая $AM$ пересекает $SC$ в точке $P$.
Из подобия треугольников или векторным методом можно показать, что точка $P$ делит ребро $SC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$, то есть $SP : PC = 1:2$.
Для построения точки $P$: разделите отрезок $SC$ на три равные части. Точка $P$ будет первой точкой деления от вершины $S$.

4. Соединение всех точек сечения:
Соединим последовательно найденные точки $A, E, P, F$.
Отрезок $AE$ лежит в грани $SAB$.
Отрезок $EP$ лежит в грани $SBC$.
Отрезок $PF$ лежит в грани $SCD$.
Отрезок $FA$ лежит в грани $SAD$.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $AEPF$.