Номер 18.4, страница 104 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.4. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $C_1$ и середины ребер $AB$ и $AD$. Определите его вид.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Плоскость сечения проходит через вершину $C_1$ и середины ребер $AB$ и $AD$.

Найти: Построить сечение и определить его вид.

Решение:

Построение сечения:

1. Обозначим середины ребер $AB$ и $AD$ как $M$ и $N$ соответственно.

2. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения и лежит в плоскости основания куба $ABCD$.

3. Продлим отрезок $MN$ до пересечения с продолжениями ребер основания. Пусть прямая $MN$ пересекает прямую $CB$ в точке $K$ и прямую $CD$ в точке $L$.

4. Точки $C_1$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $BCC_1B_1$ (или ее продолжении). Проведем прямую $C_1K$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в некоторой точке $P$. Точка $P$ является вершиной сечения. (Посредством координатного метода или подобия треугольников можно показать, что $BP = a/3$, где $a$ – длина ребра куба).

5. Точки $C_1$ и $L$ лежат в одной плоскости боковой грани $CDD_1C_1$ (или ее продолжении). Проведем прямую $C_1L$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $Q$. Точка $Q$ является вершиной сечения. (Аналогично $DQ = a/3$).

6. Соединим все найденные вершины сечения в порядке обхода: $M$, $N$, $Q$, $C_1$, $P$. Отрезки $MN$, $NQ$, $QC_1$, $C_1P$, $PM$ образуют контур искомого сечения.

Ответ: Сечение построено и представляет собой пятиугольник $MNQC_1P$.

Определение вида:

Полученное сечение имеет пять вершин ($M, N, Q, C_1, P$). Следовательно, это пятиугольник.

Для более точного определения вида рассмотрим длины сторон, приняв длину ребра куба за $a$:

• Длина $MN$: поскольку $M$ и $N$ – середины $AB$ и $AD$ соответственно, $AM = AN = a/2$. Треугольник $AMN$ – прямоугольный равнобедренный, поэтому $MN = \sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/4} = \sqrt{a^2/2} = \$a/\sqrt{2}\$.

• Длина $PM$: точка $P$ находится на ребре $BB_1$ на расстоянии $BP = a/3$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком $PM$, отрезком $MB$ (длина $a/2$) и перпендикуляром из $P$ на плоскость основания (длина $BP = a/3$). Это неверно. $M(a/2,0,0)$ и $P(a,0,a/3)$ (если $A=(0,0,0)$). Тогда $PM = \sqrt{(a - a/2)^2 + (0 - 0)^2 + (a/3 - 0)^2} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/3)^2} = \sqrt{a^2/4 + a^2/9} = \sqrt{9a^2/36 + 4a^2/36} = \sqrt{13a^2/36} = \$a\sqrt{13}/6\$.

• Длина $NQ$: аналогично $N(0,a/2,0)$ и $Q(0,a,a/3)$. $NQ = \sqrt{(0-0)^2 + (a - a/2)^2 + (a/3 - 0)^2} = \sqrt{(a/2)^2 + (a/3)^2} = \$a\sqrt{13}/6\$. Таким образом, $PM = NQ$.

• Длина $QC_1$: $Q(0,a,a/3)$ и $C_1(a,a,a)$. $QC_1 = \sqrt{(a - 0)^2 + (a - a)^2 + (a - a/3)^2} = \sqrt{a^2 + 0^2 + (2a/3)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2/9} = \sqrt{13a^2/9} = \$a\sqrt{13}/3\$.

• Длина $PC_1$: $P(a,0,a/3)$ и $C_1(a,a,a)$. $PC_1 = \sqrt{(a - a)^2 + (a - 0)^2 + (a - a/3)^2} = \sqrt{0^2 + a^2 + (2a/3)^2} = \$a\sqrt{13}/3\$. Таким образом, $QC_1 = PC_1$.

Поскольку длины сторон различны ($a/\sqrt{2}$, $a\sqrt{13}/6$, $a\sqrt{13}/3$), пятиугольник является неправильным.

Однако, данный пятиугольник обладает осевой симметрией. Если расположить куб так, что вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра лежат по осям координат, то плоскость симметрии куба $x=y$ является плоскостью симметрии и для данного сечения, так как точки $M(a/2,0,0)$ и $N(0,a/2,0)$ симметричны относительно этой плоскости; точки $P(a,0,a/3)$ и $Q(0,a,a/3)$ также симметричны; а точка $C_1(a,a,a)$ лежит в этой плоскости. Таким образом, сечение является симметричным неправильным пятиугольником.

Ответ: Пятиугольник (симметричный неправильный пятиугольник).