Номер 18.12, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

дату и ребра 32 (рис. 18.10).

18.12. Может ли сечением куба плоскостью быть:

а) правильный пятиугольник;

б) правильный шестиугольник;

в) семиугольник?

а) правильный пятиугольник?

Решение: Сечением куба плоскостью может быть многоугольник, число сторон которого равно числу граней, которые пересекает плоскость. Куб имеет 6 граней. Таким образом, максимальное количество сторон у сечения куба - 6. Хотя сечением куба может быть пятиугольник (неправильный), это не может быть правильный пятиугольник. Для того чтобы сечение было правильным многоугольником, все его стороны и все его углы должны быть равны. Углы правильного пятиугольника равны $108^\circ$. Вершины сечения лежат на ребрах куба, а стороны сечения - на гранях. Из-за ортогональной структуры куба, углы, формирующиеся при пересечении плоскости с гранями, как правило, не позволяют получить углы правильного пятиугольника, а также равные стороны при сохранении симметрии, необходимой для правильного многоугольника.

Ответ: Нет.

б) правильный шестиугольник?

Решение: Да, сечением куба плоскостью может быть правильный шестиугольник. Это достигается, если плоскость проходит через центр куба и пересекает середины шести ребер, не имеющих общих вершин. Например, если взять любую вершину куба, а затем взять вершины, находящиеся от нее на расстоянии, равном половине длины диагонали грани, и соединить их середины ребер, можно получить правильный шестиугольник. Все его стороны будут равны, а углы составят $120^\circ$, что соответствует внутренним углам правильного шестиугольника. Такое сечение образуется, например, плоскостью, перпендикулярной одной из главных диагоналей куба и проходящей через ее середину.

Ответ: Да.

в) семиугольник?

Решение: Куб имеет 6 граней. Сечение куба плоскостью является многоугольником, каждая сторона которого образуется пересечением секущей плоскости с одной из граней куба. Следовательно, число сторон многоугольника-сечения не может превышать количество граней куба, которые могут быть пересечены, то есть 6. Семиугольник имеет 7 сторон. Поскольку куб имеет только 6 граней, невозможно получить сечение с 7 сторонами.

Ответ: Нет.