Номер 18.13, страница 106 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18.13. Найдите площадь сечения единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершины:

а) $B, C, D_1$;

б) $B, D, C_1$;

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод всех данных в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (безразмерная величина, или 1 единица длины).

Найти:

а) Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершины $B, C, D_1$.

б) Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершины $B, D, C_1$.

Решение:

а) B, C, D₁;

Сечение, проходящее через три вершины куба, является треугольником. Определим длины сторон этого треугольника. Длина ребра единичного куба $a = 1$.

Отрезок $BC$ является ребром куба. Его длина $BC = a = 1$.

Отрезок $CD_1$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $CD_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Отрезок $BD_1$ является пространственной диагональю куба. Длина пространственной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Следовательно, $BD_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, сечением является треугольник $BCD_1$ со сторонами $BC=1$, $CD_1=\sqrt{2}$, $BD_1=\sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $BCD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$BC^2 + CD_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$.

$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

Так как $BC^2 + CD_1^2 = BD_1^2$, то треугольник $BCD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{BCD_1} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) B, D, C₁;

Сечение, проходящее через три вершины куба, является треугольником. Определим длины сторон этого треугольника. Длина ребра единичного куба $a = 1$.

Отрезок $BD$ является диагональю грани $ABCD$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Отрезок $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $BC_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Отрезок $DC_1$ является диагональю грани $CDD_1C_1$. Длина диагонали грани куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $DC_1 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Таким образом, сечением является треугольник $BDC_1$ со сторонами $BD=\sqrt{2}$, $BC_1=\sqrt{2}$, $DC_1=\sqrt{2}$.

Так как все три стороны треугольника $BDC_1$ равны, этот треугольник является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

В данном случае сторона $s = \sqrt{2}$.

Площадь сечения $S_{BDC_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.