Номер 17.19, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите косинус угла между плоскостями $BCD_1$ и $EFA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Косинус угла между плоскостями $BCD_1$ и $EFA_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (с координатой $z=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем нормальный вектор к плоскости $BCD_1$. Для этого возьмем три точки: $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D_1(-1, 0, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости $BCD_1$:

$\vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $BCD_1$ найдем как векторное произведение $\vec{BC} \times \vec{BD_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-3/2))$

$\vec{n_1} = (0, -(-1), \sqrt{3}/2) = (0, 1, \sqrt{3}/2)$

Найдем нормальный вектор к плоскости $EFA_1$. Для этого возьмем три точки: $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $A_1(1, 0, 1)$.

Векторы, лежащие в плоскости $EFA_1$:

$\vec{EF} = F - E = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (1, 0, 0)$

$\vec{EA_1} = A_1 - E = (1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $EFA_1$ найдем как векторное произведение $\vec{EF} \times \vec{EA_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 3/2) + \mathbf{k}(1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot 3/2)$

$\vec{n_2} = (0, -1, \sqrt{3}/2)$

Косинус угла $\phi$ между двумя плоскостями равен модулю косинуса угла между их нормальными векторами:

$\cos \phi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$

Скалярное произведение векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(0) + (1)(-1) + (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) = 0 - 1 + 3/4 = -1/4$

Длины векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$:

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Теперь найдем косинус угла:

$\cos \phi = \frac{|-1/4|}{(\sqrt{7}/2) \cdot (\sqrt{7}/2)} = \frac{1/4}{7/4} = \frac{1}{7}$

Ответ:

$1/7$