Номер 17.17, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.17. У правильной четырехугольной пирамиды все ребра равны. Найдите косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны. Пусть длина каждого ребра равна $a$.
Это означает, что основание пирамиды – квадрат со стороной $a$ ($AB=BC=CD=DA=a$), а все боковые ребра также равны $a$ ($SA=SB=SC=SD=a$).
Следовательно, все боковые грани (например, $\triangle SAB$ и $\triangle SBC$) являются равносторонними треугольниками.

Найти:

Косинус двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями пирамиды. Пусть этот угол равен $\alpha$.

Решение

Для определения двугранного угла между соседними боковыми гранями, например, между гранью $SAB$ и гранью $SBC$, необходимо рассмотреть их общее ребро $SB$. Двугранный угол определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих гранях и перпендикулярными к общему ребру в одной точке.

Поскольку треугольники $SAB$ и $SBC$ являются равносторонними (все их стороны равны $a$), высоты, проведенные из вершин $A$ и $C$ к общему ребру $SB$, будут совпадать с медианами.

Пусть $M$ - середина ребра $SB$. Тогда $AM$ является высотой равностороннего $\triangle SAB$, а $CM$ является высотой равностороннего $\triangle SBC$. Следовательно, $AM \perp SB$ и $CM \perp SB$.

Искомый двугранный угол $\alpha$ равен углу $\angle AMC$.

Найдем длины отрезков $AM$ и $CM$. Как высоты равносторонних треугольников со стороной $a$, они равны:
$AM = CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем длину отрезка $AC$. $AC$ является диагональю квадратного основания $ABCD$ со стороной $a$. По теореме Пифагора:
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Рассмотрим треугольник $AMC$. У нас известны все три стороны:
$AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$AC = a\sqrt{2}$

Применим теорему косинусов к $\triangle AMC$ для нахождения косинуса угла $\alpha = \angle AMC$:
$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\alpha)$
$(a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$
$2a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cos(\alpha)$
$2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):
$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$:
$2 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \cos(\alpha)$
$\frac{4 - 3}{2} = -\frac{3}{2} \cos(\alpha)$
$\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \cos(\alpha)$

Умножим обе части на $2$:
$1 = -3 \cos(\alpha)$
$\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$