Номер 17.10, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями:

a) $ABB_1$ и $CDD_1$;

б) $ACC_1$ и $CDD_1$;

в) $ACC_1$ и $DEE_1$;

г) $ACC_1$ и $CEE_1$;

д) $ABC$ и $BDE_1$;

е) $CDF_1$ и $AFD_1$.

17.11. Покажите, что в правильной шестиугольной призме

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти: Угол между плоскостями.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все ребра равны $1$, то радиус описанной окружности вокруг основания также равен $1$. Высота призмы равна $1$.

Координаты вершин основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания ($A_1B_1C_1D_1E_1F_1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Если $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ — нормальные векторы к плоскостям, то косинус угла $\theta$ между плоскостями находится по формуле: $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}$.

а) $ABB_1$ и $CDD_1$

Плоскость $ABB_1$ (или $ABB_1A_1$) содержит точки $A(1,0,0)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $A_1(1,0,1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{AB} = B - A = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $\vec{AA_1} = A_1 - A = (0,0,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_1} = \vec{AB} \times \vec{AA_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}/2, 1/2, 0)$. Для удобства вычислений возьмем $\vec{n_1} = (\sqrt{3}, 1, 0)$ (умножив на 2).

Плоскость $CDD_1$ (или $CDD_1C_1$) содержит точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D(-1,0,0)$, $D_1(-1,0,1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{DC} = C - D = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $\vec{DD_1} = D_1 - D = (0,0,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{DC} \times \vec{DD_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$. Для удобства вычислений возьмем $\vec{n_2} = (\sqrt{3}, -1, 0)$ (умножив на 2).

Вычислим косинус угла между нормальными векторами:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (1)(-1) + (0)(0) = 3 - 1 = 2$.

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

$\cos \theta = \frac{|2|}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

б) $ACC_1$ и $CDD_1$

Плоскость $ACC_1$ содержит точки $A(1,0,0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{AC} = C - A = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $\vec{CC_1} = C_1 - C = (0,0,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_1} = \vec{AC} \times \vec{CC_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$. Для удобства возьмем $\vec{n_1} = (\sqrt{3}, 3, 0)$ (умножив на 2).

Плоскость $CDD_1$: нормальный вектор $\vec{n_2} = (\sqrt{3}, -1, 0)$ (из предыдущего пункта).

Вычислим косинус угла между нормальными векторами:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (3)(-1) + (0)(0) = 3 - 3 = 0$.

Так как скалярное произведение нормальных векторов равно $0$, плоскости ортогональны.

$\theta = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

в) $ACC_1$ и $DEE_1$

Плоскость $ACC_1$: нормальный вектор $\vec{n_1} = (\sqrt{3}, 3, 0)$.

Плоскость $DEE_1$ содержит точки $D(-1,0,0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{DE} = E - D = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $\vec{EE_1} = E_1 - E = (0,0,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{DE} \times \vec{EE_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$. Для удобства возьмем $\vec{n_2} = (\sqrt{3}, 1, 0)$ (умножив на -2).

Вычислим косинус угла между нормальными векторами:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\sqrt{3})(\sqrt{3}) + (3)(1) + (0)(0) = 3 + 3 = 6$.

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{3+9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

$\cos \theta = \frac{|6|}{2\sqrt{3} \cdot 2} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\theta = \arccos(\sqrt{3}/2) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

г) $ACC_1$ и $CEE_1$

Плоскость $ACC_1$: нормальный вектор $\vec{n_1} = (\sqrt{3}, 3, 0)$.

Плоскость $CEE_1$ содержит точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{CE} = E - C = (0, -\sqrt{3}, 0)$, $\vec{EE_1} = E_1 - E = (0,0,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{CE} \times \vec{EE_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & -\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-\sqrt{3}, 0, 0)$. Для удобства возьмем $\vec{n_2} = (1, 0, 0)$ (умножив на $-1/\sqrt{3}$).

Вычислим косинус угла между нормальными векторами:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\sqrt{3})(1) + (3)(0) + (0)(0) = \sqrt{3}$.

$||\vec{n_1}|| = 2\sqrt{3}$.

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

$\cos \theta = \frac{|\sqrt{3}|}{2\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

д) $ABC$ и $BDE_1$

Плоскость $ABC$ — это плоскость основания, которая совпадает с плоскостью $z=0$.

Нормальный вектор к плоскости $ABC$ может быть $\vec{n_1} = (0,0,1)$.

Плоскость $BDE_1$ содержит точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D(-1,0,0)$, $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{DB} = B - D = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $\vec{DE_1} = E_1 - D = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{DB} \times \vec{DE_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0, -(3/2 \cdot 1 - 0), 3/2 \cdot (-\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}/2 \cdot 1/2) = (\sqrt{3}/2, -3/2, -3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -3/2, -\sqrt{3})$.

Вычислим косинус угла между нормальными векторами:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(\sqrt{3}/2) + (0)(-3/2) + (1)(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}$.

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 9/4 + 3} = \sqrt{12/4 + 3} = \sqrt{3+3} = \sqrt{6}$.

$\cos \theta = \frac{|-\sqrt{3}|}{1 \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\theta = \arccos(\sqrt{2}/2) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

е) $CDF_1$ и $AFD_1$

Плоскость $CDF_1$ содержит точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $D(-1,0,0)$, $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{DC} = C - D = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $\vec{DF_1} = F_1 - D = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_1} = \vec{DC} \times \vec{DF_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0, -(1/2 \cdot 1 - 0), 1/2 \cdot (-\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}/2 \cdot 3/2) = (\sqrt{3}/2, -1/2, -\sqrt{3}/4 - 3\sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -1/2, -\sqrt{3})$.

Плоскость $AFD_1$ содержит точки $A(1,0,0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $D_1(-1,0,1)$.

Векторы в плоскости: $\vec{FA} = A - F = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $\vec{FD_1} = D_1 - F = (-3/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Нормальный вектор $\vec{n_2} = \vec{FA} \times \vec{FD_1} = \det \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = (\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0, -(1/2 \cdot 1 - 0), 1/2 \cdot \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 \cdot (-3/2)) = (\sqrt{3}/2, -1/2, \sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -1/2, \sqrt{3})$.

Вычислим косинус угла между нормальными векторами:

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (\sqrt{3}/2)(\sqrt{3}/2) + (-1/2)(-1/2) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 3/4 + 1/4 - 3 = 1 - 3 = -2$.

$||\vec{n_1}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 3} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$||\vec{n_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 3} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

$\cos \theta = \frac{|-2|}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$\theta = \arccos(1/2) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$