Номер 17.4, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17.4. Найдите двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной треугольной призмы (рис. 17.11).

Рис. 17.11

Дано:

Правильная треугольная призма (см. рис. 17.11).

Найти:

Двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями.

Решение:

Правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. Пусть основаниями призмы являются треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$, а боковыми гранями — прямоугольники $AA_1B_1B$, $BB_1C_1C$, $CC_1A_1A$.

Двугранный угол, образованный двумя плоскостями, измеряется линейным углом. Линейный угол — это угол, образованный двумя лучами, лежащими в этих плоскостях, перпендикулярными к линии их пересечения и исходящими из одной точки на этой линии.

Рассмотрим две соседние боковые грани, например, $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$. Линией их пересечения является общее боковое ребро $BB_1$.

Поскольку призма является правильной и прямой, то все её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$.

В плоскости основания $ABC$ из вершины $B$ (точки на ребре $BB_1$) проведём отрезки $BA$ и $BC$. Поскольку $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $BB_1$ перпендикулярно любому отрезку, лежащему в этой плоскости и проходящему через точку $B$. Таким образом, $BB_1 \perp BA$ и $BB_1 \perp BC$.

Отрезок $BA$ лежит в плоскости боковой грани $AA_1B_1B$.

Отрезок $BC$ лежит в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$.

Следовательно, угол между отрезками $BA$ и $BC$, то есть $\angle ABC$, является линейным углом двугранного угла между боковыми гранями $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$.

По определению правильной треугольной призмы, её основание — это равносторонний треугольник. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны $60^\circ$.

Таким образом, $\angle ABC = 60^\circ$.

Аналогично, для любой другой пары соседних боковых граней двугранный угол будет определяться соответствующим углом в основании.

Для боковых граней $BB_1C_1C$ и $CC_1A_1A$ общим ребром является $CC_1$, и линейный угол двугранного угла будет $\angle BCA$, который также равен $60^\circ$.

Для боковых граней $CC_1A_1A$ и $AA_1B_1B$ общим ребром является $AA_1$, и линейный угол двугранного угла будет $\angle CAB$, который также равен $60^\circ$.

Все двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной треугольной призмы, равны $60^\circ$.

Ответ:

Все двугранные углы, образованные соседними боковыми гранями правильной треугольной призмы, равны $60^\circ$.