Номер 16.18, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.18. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между плоскостями $ABC_1$ и $ABC$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Нет необходимости в переводе в систему СИ, так как задача геометрическая и ответ будет представлен в градусах.

Найти:

Угол между плоскостями $ABC_1$ и $ABC$.

Решение:

Для определения угла между двумя плоскостями необходимо найти их линию пересечения. Затем, из любой точки на этой линии, провести в каждой из плоскостей перпендикуляр к линии пересечения. Угол между этими двумя перпендикулярами будет искомым углом между плоскостями.

1. Плоскости $ABC_1$ и $ABC$ имеют общую прямую $AB$, которая является линией их пересечения.

2. Рассмотрим плоскость $ABC$, которая является плоскостью основания куба ($ABCD$). Поскольку $ABCD$ — квадрат, то ребро $BC$ перпендикулярно ребру $AB$. Следовательно, $BC \perp AB$.

3. Теперь рассмотрим плоскость $ABC_1$. Нам нужно найти прямую, проходящую через точку на линии пересечения $AB$ (например, точку $B$) и перпендикулярную $AB$. В кубе ребро $AB$ перпендикулярно всей плоскости грани $BCC_1B_1$ (так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_1$). Поскольку прямая $BC_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то $AB$ перпендикулярна $BC_1$. Следовательно, $BC_1 \perp AB$.

4. Таким образом, мы нашли две прямые, перпендикулярные линии пересечения $AB$ в точке $B$: прямая $BC$ в плоскости $ABC$ и прямая $BC_1$ в плоскости $ABC_1$. Угол между плоскостями $ABC_1$ и $ABC$ равен углу между этими прямыми, то есть $\angle C_1BC$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Катеты этого треугольника $BC$ и $CC_1$ являются ребрами куба. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда $BC = a$ и $CC_1 = a$.

6. Для нахождения угла $\angle C_1BC$ в прямоугольном треугольнике $BCC_1$ воспользуемся тангенсом:

$\mathrm{tg}(\angle C_1BC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CC_1}{BC}$

Подставляя значения длин ребер:

$\mathrm{tg}(\angle C_1BC) = \frac{a}{a} = 1$

7. Угол, тангенс которого равен $1$, составляет $45^\circ$.

$\angle C_1BC = \mathrm{arctg}(1) = 45^\circ$

Ответ:

Угол между плоскостями $ABC_1$ и $ABC$ равен $45^\circ$.