Номер 16.15, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Докажите, что прямая $AD_1$ перпендикулярна плоскости $BFA_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ – правильная шестиугольная.
Все ребра равны 1, то есть, длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Доказать, что прямая $AD_1$ перпендикулярна плоскости $BFA_1$.

Решение

Для доказательства перпендикулярности прямой $AD_1$ плоскости $BFA_1$ воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат $O(0,0,0)$ совпадает с центром нижнего основания правильной шестиугольной призмы. Ось $Ox$ направим вдоль диагонали $AD$. Ось $Oy$ направим перпендикулярно $Ox$ в плоскости нижнего основания. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (высоты призмы).

Так как призма правильная и все ее ребра равны 1: Сторона правильного шестиугольника $AB = 1$. Расстояние от центра шестиугольника до любой его вершины равно длине стороны, т.е. 1. Длина большой диагонали шестиугольника (например, $AD$) равна двум сторонам, т.е. $AD = 2 \times 1 = 2$. Высота призмы $AA_1 = 1$.

Определим координаты ключевых вершин: Вершины нижнего основания: Так как $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от центра, $A = (1, 0, 0)$. Вершина $D$ находится на противоположной стороне шестиугольника на оси $Ox$, $D = (-1, 0, 0)$. Координаты $B$ и $F$ определяются, учитывая, что угол между радиус-векторами соседних вершин составляет $60^\circ$: $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. $F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вершины верхнего основания (с координатой $z=1$, равной высоте призмы): $A_1 = (1, 0, 1)$. $D_1 = (-1, 0, 1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$: $\vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.

Чтобы доказать перпендикулярность прямой $AD_1$ плоскости $BFA_1$, достаточно показать, что прямая $AD_1$ перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в этой плоскости. Выберем прямые $BF$ и $FA_1$.

Найдем координаты вектора $\vec{BF}$: $\vec{BF} = F - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AD_1} \cdot \vec{BF}$: $\vec{AD_1} \cdot \vec{BF} = (-2)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (1)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BF}$ ортогональны, то есть прямая $AD_1$ перпендикулярна прямой $BF$.

Найдем координаты вектора $\vec{FA_1}$: $\vec{FA_1} = A_1 - F = (1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AD_1} \cdot \vec{FA_1}$: $\vec{AD_1} \cdot \vec{FA_1} = (-2)(1/2) + (0)(\sqrt{3}/2) + (1)(1) = -1 + 0 + 1 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{FA_1}$ ортогональны, то есть прямая $AD_1$ перпендикулярна прямой $FA_1$.

Прямые $BF$ и $FA_1$ лежат в плоскости $BFA_1$ и пересекаются в точке $F$. Векторы $\vec{BF} = (0, -\sqrt{3}, 0)$ и $\vec{FA_1} = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ не являются параллельными (их координаты не пропорциональны). Поскольку прямая $AD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BF$ и $FA_1$, лежащим в плоскости $BFA_1$, то прямая $AD_1$ перпендикулярна всей плоскости $BFA_1$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Ответ:

Доказано.