Номер 16.12, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BC_1D_1$.

Дано: Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти: Угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $BC_1D_1$.

Решение:

Введем систему координат с началом в точке $A$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (a,0,0)$
• $C = (a,a,0)$
• $D = (0,a,0)$
• $A_1 = (0,0,a)$
• $B_1 = (a,0,a)$
• $C_1 = (a,a,a)$
• $D_1 = (0,a,a)$

Для определения угла $\phi$ между прямой и плоскостью можно использовать формулу синуса угла между направляющим вектором прямой $\vec{v}$ и нормальным вектором плоскости $\vec{n}$:

$\sin \phi = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n}||}$

Найдем направляющий вектор прямой $AB_1$:

$\vec{v} = \vec{AB_1} = B_1 - A = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$

Найдем нормальный вектор плоскости $BC_1D_1$. Для этого возьмем два вектора, лежащих в этой плоскости, и найдем их векторное произведение. Используем точки $B=(a,0,0)$, $C_1=(a,a,a)$, $D_1=(0,a,a)$.

Векторы в плоскости:

$\vec{BC_1} = C_1 - B = (a-a, a-0, a-0) = (0,a,a)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-a, a-0, a-0) = (-a,a,a)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ плоскости $BC_1D_1$ равен векторному произведению $\vec{BC_1} \times \vec{BD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & a \\ -a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - a \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - a \cdot (-a)) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot (-a))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(a^2 - a^2) - \mathbf{j}(0 + a^2) + \mathbf{k}(0 + a^2) = (0, -a^2, a^2)$

Для удобства можем взять более простой нормальный вектор, пропорциональный найденному, например, разделив на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$\vec{n} = (0, -1, 1)$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{v} \cdot \vec{n}$:

$\vec{v} \cdot \vec{n} = (a)(0) + (0)(-1) + (a)(1) = 0 + 0 + a = a$

Вычислим модули векторов:

$||\vec{v}|| = ||\vec{AB_1}|| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

$||\vec{n}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$

Подставим значения в формулу для $\sin \phi$:

$\sin \phi = \frac{|a|}{(a\sqrt{2})(\sqrt{2})} = \frac{a}{a \cdot 2} = \frac{1}{2}$

Следовательно, $\phi = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$