Номер 16.10, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1.

1. Найдите синус угла между прямой $AB_1$ и плоскостью: а) $BCC_1$; б) $CDD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Синус угла между прямой $AB_1$ и плоскостью $BCC_1$.

2. Синус угла между прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим через вершину $A$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Ось $Oy$ выберем так, чтобы она образовывала правую тройку с $Ox$ и $Oz$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника с центром в начале координат и стороной $a=1$:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются из координат нижнего основания добавлением $z=1$:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем вектор, задающий направление прямой $AB_1$:

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Длина вектора $\vec{AB_1}$:

$||\vec{AB_1}|| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Синус угла $\phi$ между прямой, заданной направляющим вектором $\vec{l}$, и плоскостью, заданной нормальным вектором $\vec{n}$, вычисляется по формуле: $\sin \phi = \frac{|\vec{l} \cdot \vec{n}|}{||\vec{l}|| \cdot ||\vec{n}||}$.

a) BCC₁

Плоскость $BCC_1$ является одной из боковых граней призмы. Она проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Заметим, что все три указанные точки имеют одинаковую y-координату, равную $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это означает, что плоскость $BCC_1$ параллельна оси $Oxz$ и ее уравнение $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Нормальный вектор к плоскости $y = \text{const}$ имеет вид $\vec{n}_{BCC_1} = (0, 1, 0)$.

Длина нормального вектора $||\vec{n}_{BCC_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AB_1}$ и нормального вектора $\vec{n}_{BCC_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{n}_{BCC_1} = (-\frac{1}{2})(0) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(1) + (1)(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла $\phi_a$:

$\sin \phi_a = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

б) CDD₁

Плоскость $CDD_1$ также является боковой гранью призмы. Она проходит через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D(-1, 0, 0)$ и $D_1(-1, 0, 1)$.

Для нахождения нормального вектора к плоскости $CDD_1$ воспользуемся двумя векторами, лежащими в этой плоскости, например, $\vec{DC}$ и $\vec{DD_1}$.

$\vec{DC} = C - D = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DD_1} = D_1 - D = (-1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (0, 0, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}_{CDD_1}$ можно найти как векторное произведение $\vec{DC} \times \vec{DD_1}$:

$\vec{n}_{CDD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

Длина нормального вектора $||\vec{n}_{CDD_1}|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{AB_1}$ и нормального вектора $\vec{n}_{CDD_1}$:

$\vec{AB_1} \cdot \vec{n}_{CDD_1} = (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2}) + (1)(0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим значения в формулу для синуса угла $\phi_b$:

$\sin \phi_b = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$