Номер 16.4, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16.4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 16.7). Найдите угол между:

а) прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$;

б) прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

$AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

а) угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$.

б) угол между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$.

Решение

а) прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC$

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

1. Прямая $AB_1$ и плоскость $ABC$ имеют общую точку $A$.

2. Проекция точки $B_1$ на плоскость $ABC$ - это точка $B$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$ (по свойству правильной призмы).

3. Следовательно, проекция прямой $AB_1$ на плоскость $ABC$ - это прямая $AB$.

4. Искомый угол - это угол между прямой $AB_1$ и ее проекцией $AB$, то есть $\angle B_1AB$.

5. Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, то $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через $B$. В частности, $BB_1 \perp AB$.

6. Таким образом, $\triangle ABB_1$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$.

7. Известно, что $AB = 1$ (ребро основания) и $BB_1 = 1$ (боковое ребро).

8. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ тангенс угла $\angle B_1AB$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{1}{1} = 1$

9. Отсюда $\angle B_1AB = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$

1. Прямая $AB$ и плоскость $BCC_1$ (плоскость боковой грани $BCC_1B_1$) имеют общую точку $B$.

2. Для нахождения угла между прямой $AB$ и плоскостью $BCC_1$ необходимо найти проекцию точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Пусть $H$ - проекция точки $A$ на плоскость $BCC_1$. Тогда $AH \perp BCC_1$.

3. Рассмотрим основание $ABC$. Это равносторонний треугольник, так как призма правильная и все ребра равны 1. Проведем высоту $AH$ в треугольнике $ABC$ к стороне $BC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому $H$ - середина $BC$, и $AH \perp BC$.

4. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1 \perp AH$.

5. Таким образом, прямая $AH$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BB_1$, лежащим в плоскости $BCC_1$. Из этого следует, что $AH$ перпендикулярна плоскости $BCC_1$.

6. Значит, точка $H$ является проекцией точки $A$ на плоскость $BCC_1$.

7. Проекция прямой $AB$ на плоскость $BCC_1$ - это прямая $BH$.

8. Искомый угол - это угол между прямой $AB$ и ее проекцией $BH$, то есть $\angle ABH$.

9. В равностороннем треугольнике $ABC$ все углы равны $60^\circ$. Угол $\angle ABC = 60^\circ$.

10. Так как точка $H$ лежит на отрезке $BC$, угол $\angle ABH$ совпадает с углом $\angle ABC$.

11. Следовательно, $\angle ABH = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$