Вопрос?, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Какой угол будет наибольшим углом между наклонной к плоскости и прямыми, лежащими в этой плоскости?

Решение

Пусть дана плоскость $\alpha$ и наклонная $L$, которая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $P$. Наклонная — это прямая, не перпендикулярная плоскости и не лежащая в ней.

Мы ищем наибольший угол между наклонной $L$ и любой прямой $M$, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $P$.

Рассмотрим точку $A$ на наклонной $L$, отличную от $P$. Опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $\alpha$. Пусть $A'$ будет основанием этого перпендикуляра на плоскости $\alpha$. Тогда $PA'$ является ортогональной проекцией наклонной $L$ на плоскость $\alpha$. Угол между наклонной $L$ и плоскостью $\alpha$ равен углу $\angle APA'$, который обозначим как $\theta$. Для наклонной $L$ угол $\theta$ находится в пределах $0^\circ < \theta < 90^\circ$.

Рассмотрим произвольную прямую $M$, лежащую в плоскости $\alpha$ и проходящую через $P$. Пусть $\phi$ - это угол между наклонной $L$ (прямой $AP$) и прямой $M$. В геометрии угол между двумя прямыми обычно определяется как наименьший из двух смежных углов, образующихся при их пересечении, то есть $\phi \in [0^\circ, 90^\circ]$.

Для определения угла $\phi$ можно использовать формулу через косинусы. Пусть $\psi$ - это угол между прямой $M$ и проекцией $PA'$ в плоскости $\alpha$.

Возьмем наклонную $L$ как вектор $\vec{u}$ и прямую $M$ как вектор $\vec{v}$. Угол $\phi$ между ними определяется как $\cos \phi = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.

Представим точку $P$ как начало координат $(0,0,0)$. Пусть плоскость $\alpha$ — это плоскость $xy$ ($z=0$).Пусть проекция $PA'$ лежит вдоль оси $x$. Тогда точка $A'$ имеет координаты $(d, 0, 0)$ для некоторого $d > 0$. Точка $A$ на наклонной $L$ будет иметь координаты $(d, 0, h)$ для некоторого $h > 0$.Вектор направления наклонной $L$ равен $\vec{u} = (d, 0, h)$.Вектор направления прямой $M$ в плоскости $xy$, проходящей через начало координат, можно представить как $\vec{v} = (\cos \psi, \sin \psi, 0)$, где $\psi$ - угол между $M$ и осью $x$ (т.е. проекцией $PA'$).

Вычислим скалярное произведение и длины векторов:$\vec{u} \cdot \vec{v} = d \cdot \cos \psi + 0 \cdot \sin \psi + h \cdot 0 = d \cos \psi$.$|\vec{u}| = \sqrt{d^2 + h^2}$.$|\vec{v}| = \sqrt{\cos^2 \psi + \sin^2 \psi + 0^2} = 1$.

Тогда косинус угла $\phi$ между $L$ и $M$ равен:$\cos \phi = \frac{|d \cos \psi|}{\sqrt{d^2 + h^2}}$.

Угол $\theta$ между наклонной $L$ и плоскостью $\alpha$ (то есть между $L$ и ее проекцией $PA'$) определяется как $\cos \theta = \frac{PA'}{PA} = \frac{d}{\sqrt{d^2 + h^2}}$.

Подставляя это в формулу для $\cos \phi$, получаем:$\cos \phi = |\cos \theta \cdot \cos \psi|$.

Для того чтобы угол $\phi$ был наибольшим (в диапазоне $[0^\circ, 90^\circ]$), его косинус $\cos \phi$ должен быть наименьшим (стремиться к 0).Так как $\cos \theta$ всегда положительно (поскольку $\theta$ - острый угол), минимальное значение $\cos \phi$ достигается, когда $|\cos \psi|$ минимально.Минимальное значение $|\cos \psi|$ равно 0. Это происходит, когда $\psi = 90^\circ$.

Когда $\psi = 90^\circ$, прямая $M$ перпендикулярна проекции $PA'$ наклонной $L$ в плоскости $\alpha$.В этом случае:$\cos \phi = |\cos \theta \cdot 0| = 0$.Следовательно, $\phi = 90^\circ$.

Этот результат согласуется с теоремой о трех перпендикулярах. Согласно этой теореме, если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость, то она перпендикулярна и самой наклонной. То есть, если $M \perp PA'$, то $M \perp AP$. Таким образом, угол между $L$ и $M$ равен $90^\circ$.

Поскольку угол между двумя прямыми (по стандартному определению) не может превышать $90^\circ$, угол $90^\circ$ является наибольшим возможным значением.

Ответ: Наибольший угол будет равен $90^\circ$.