Номер 15.19, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.19. Докажите теорему, обратную теореме о трех перпендикулярах:

«Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна ортогональной проекции этой наклонной на данную плоскость».

Доказательство:

Пусть $\alpha$ - данная плоскость.

Пусть $A$ - точка, не лежащая в плоскости $\alpha$.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр $AO$ к плоскости $\alpha$, где $O$ - основание перпендикуляра на плоскости $\alpha$. Таким образом, по определению, $AO \perp \alpha$.

Пусть $AB$ - наклонная, проведенная из точки $A$ к плоскости $\alpha$, где $B$ - точка на плоскости $\alpha$.

Тогда отрезок $OB$ является ортогональной проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Пусть $c$ - произвольная прямая, лежащая в плоскости $\alpha$.

Нам дано, что прямая $c$ перпендикулярна наклонной $AB$, то есть $c \perp AB$.

Требуется доказать, что прямая $c$ перпендикулярна ортогональной проекции $OB$, то есть $c \perp OB$.

1. По определению перпендикуляра к плоскости, прямая $AO$ (которая является перпендикуляром к плоскости $\alpha$) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поскольку прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$, отсюда следует, что $AO \perp c$.

2. Согласно условию обратной теоремы о трех перпендикулярах, прямая $c$ перпендикулярна наклонной $AB$. То есть, $c \perp AB$.

3. Таким образом, мы установили, что прямая $c$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым: $AO$ и $AB$. Эти две прямые пересекаются в точке $A$ и лежат в одной плоскости (плоскости, проходящей через точки $A$, $O$, $B$, которую обозначим как плоскость $AOB$).

4. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она перпендикулярна самой этой плоскости. Следовательно, прямая $c$ перпендикулярна плоскости $AOB$.

5. Прямая $OB$ (ортогональная проекция наклонной $AB$) полностью лежит в плоскости $AOB$. Поскольку прямая $c$ перпендикулярна плоскости $AOB$, то по определению прямой, перпендикулярной плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, $c \perp OB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.