Номер 15.13, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.13. Докажите, что в правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ (рис. 15.11) перпендикулярны прямые:

а) $AC_1$ и $BE$;

б) $AD_1$ и $CE$;

в) $AB_1$ и $BE_1$.

Рис. 15.11

Решение

а) $AC_1$ и $BE$

Рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником. Известно, что в правильном шестиугольнике диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BE$. (Для доказательства этого факта можно использовать координаты: если центр шестиугольника находится в начале координат, а длина стороны равна $a$, то $A=(a,0)$, $B=(a/2, a\sqrt{3}/2)$, $C=(-a/2, a\sqrt{3}/2)$ и $E=(-a/2, -a\sqrt{3}/2)$. Тогда вектор $\vec{AC} = C-A = (-a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0) = (-3a/2, a\sqrt{3}/2)$ и вектор $\vec{BE} = E-B = (-a/2 - a/2, -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2) = (-a, -a\sqrt{3})$. Их скалярное произведение $\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-3a/2)(-a) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}) = 3a^2/2 - 3a^2/2 = 0$. Следовательно, $AC \perp BE$.)

Прямая $CC_1$ является боковым ребром призмы. Поскольку призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Поскольку прямая $BE$ лежит в плоскости основания, то $CC_1 \perp BE$.

Итак, прямая $BE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $ACC_1$. Из признака перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $BE$ перпендикулярна плоскости $ACC_1$.

Поскольку прямая $AC_1$ лежит в плоскости $ACC_1$ (так как точки $A$, $C$, $C_1$ являются вершинами призмы и лежат в одной плоскости), то прямая $AC_1$ перпендикулярна прямой $BE$.

Ответ: Прямые $AC_1$ и $BE$ перпендикулярны.

б) $AD_1$ и $CE$

Рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$, которое является правильным шестиугольником. Известно, что в правильном шестиугольнике большая диагональ $AD$ перпендикулярна короткой диагонали $CE$. (Для доказательства этого факта можно использовать координаты: если центр шестиугольника находится в начале координат, а длина стороны равна $a$, то $A=(a,0)$, $D=(-a,0)$, $C=(-a/2, a\sqrt{3}/2)$ и $E=(-a/2, -a\sqrt{3}/2)$. Тогда вектор $\vec{AD} = D-A = (-a - a, 0 - 0) = (-2a, 0)$ и вектор $\vec{CE} = E-C = (-a/2 - (-a/2), -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2) = (0, -a\sqrt{3})$. Их скалярное произведение $\vec{AD} \cdot \vec{CE} = (-2a)(0) + (0)(-a\sqrt{3}) = 0$. Следовательно, $AD \perp CE$.)

Прямая $DD_1$ является боковым ребром призмы. Так как призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $DD_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Поскольку прямая $CE$ лежит в плоскости основания, то $DD_1 \perp CE$.

Итак, прямая $CE$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AD$ и $DD_1$, лежащим в плоскости $ADD_1$. Из признака перпендикулярности прямой и плоскости следует, что прямая $CE$ перпендикулярна плоскости $ADD_1$.

Поскольку прямая $AD_1$ лежит в плоскости $ADD_1$, то прямая $AD_1$ перпендикулярна прямой $CE$.

Ответ: Прямые $AD_1$ и $CE$ перпендикулярны.

в) $AB_1$ и $BE_1$

Воспользуемся методом координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Пусть длина стороны правильного шестиугольника основания равна $a$, а высота призмы равна $h$.

Координаты вершин: $A = (a, 0, 0)$ $B = (a/2, a\sqrt{3}/2, 0)$ $E = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, 0)$ $B_1 = (a/2, a\sqrt{3}/2, h)$ $E_1 = (-a/2, -a\sqrt{3}/2, h)$

Найдем векторы, задающие направления прямых $AB_1$ и $BE_1$: $\vec{AB_1} = B_1 - A = (a/2 - a, a\sqrt{3}/2 - 0, h - 0) = (-a/2, a\sqrt{3}/2, h)$ $\vec{BE_1} = E_1 - B = (-a/2 - a/2, -a\sqrt{3}/2 - a\sqrt{3}/2, h - 0) = (-a, -a\sqrt{3}, h)$

Вычислим скалярное произведение этих векторов: $\vec{AB_1} \cdot \vec{BE_1} = (-a/2)(-a) + (a\sqrt{3}/2)(-a\sqrt{3}) + (h)(h)$ $= a^2/2 - (a\sqrt{3})^2/2 + h^2$ $= a^2/2 - 3a^2/2 + h^2$ $= -a^2 + h^2$

Для того чтобы прямые $AB_1$ и $BE_1$ были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Таким образом, $-a^2 + h^2 = 0 \implies h^2 = a^2 \implies h = a$ (так как высота $h$ должна быть положительной).

Следовательно, прямые $AB_1$ и $BE_1$ перпендикулярны только в том случае, если высота призмы $h$ равна длине стороны основания $a$. Поскольку в условии задачи не указано, что призма является "равносторонней" (т.е. $h=a$), или что ее боковые грани являются квадратами, мы не можем утверждать, что они перпендикулярны для любой правильной шестиугольной призмы. Они перпендикулярны при дополнительном условии $h=a$.

Ответ: Прямые $AB_1$ и $BE_1$ перпендикулярны, если высота призмы равна длине стороны ее основания.