Номер 15.14, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.14. Докажите, что равные наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, имеют равные ортогональные проекции на эту плоскость.

Дано:

Пусть дана плоскость $\alpha$ и точка $A$, не лежащая в этой плоскости. Из точки $A$ проведены две наклонные $AB$ и $AC$ к плоскости $\alpha$.

Длины наклонных равны: $AB = AC$.

Найти:

Доказать, что ортогональные проекции наклонных $AB$ и $AC$ на плоскость $\alpha$ равны.

Решение:

Для доказательства проведем из точки $A$ перпендикуляр $AH$ к плоскости $\alpha$. Точка $H$ является основанием перпендикуляра на плоскости $\alpha$.

Ортогональной проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $BH$.

Ортогональной проекцией наклонной $AC$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $CH$.

Поскольку $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $AH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. В частности, $AH \perp BH$ и $AH \perp CH$.

Таким образом, образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle AHB$ (с прямым углом при вершине $H$) и $\triangle AHC$ (с прямым углом при вершине $H$).

Рассмотрим эти два прямоугольных треугольника:

Сторона $AH$ является общим катетом для обоих треугольников.

Гипотенузы $AB$ и $AC$ равны по условию задачи ($AB = AC$).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle AHB$ имеем:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

Отсюда выразим $BH^2$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle AHC$ имеем:

$AC^2 = AH^2 + CH^2$

Отсюда выразим $CH^2$:

$CH^2 = AC^2 - AH^2$

Поскольку нам дано, что $AB = AC$, то $AB^2 = AC^2$.

Следовательно, правые части выражений для $BH^2$ и $CH^2$ также равны:

$AB^2 - AH^2 = AC^2 - AH^2 \implies BH^2 = CH^2$

Поскольку $BH$ и $CH$ — это длины отрезков, они являются положительными величинами. Из равенства их квадратов следует равенство самих длин:

$BH = CH$

Что и требовалось доказать.

Ответ:

Равные наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, имеют равные ортогональные проекции на эту плоскость.