Номер 15.9, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.9. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 15.8) изобразите ортогональную проекцию на плоскость $ACC_1$ отрезка:

а) $BB_1$;

б) $BC$;

в) $BC_1$.

Решение

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ плоскость $ACC_1$ является одной из боковых граней. Для нахождения ортогональной проекции отрезка на плоскость необходимо спроецировать его концевые точки на данную плоскость и соединить полученные проекции.

Поскольку призма правильная, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками, а боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Рассмотрим проекцию точки $B$ на плоскость $ACC_1$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. В равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $BM$ является также высотой, следовательно, $BM \perp AC$. Так как призма прямая, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, $AA_1 \perp BM$. Поскольку прямая $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $AA_1$), лежащим в плоскости $ACC_1$, то $BM$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$. Таким образом, ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость $ACC_1$ является точка $M$.

Аналогично, для точки $B_1$, её проекцией на плоскость $ACC_1$ является точка $M_1$ — середина отрезка $A_1C_1$. Отрезок $B_1M_1$ перпендикулярен плоскости $ACC_1$.

а) BB₁

Чтобы найти проекцию отрезка $BB_1$, спроецируем его концевые точки $B$ и $B_1$ на плоскость $ACC_1$.

Проекция точки $B$ на плоскость $ACC_1$ — это точка $M$ (середина $AC$).

Проекция точки $B_1$ на плоскость $ACC_1$ — это точка $M_1$ (середина $A_1C_1$).

Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BB_1$ на плоскость $ACC_1$ является отрезок $MM_1$.

Ответ: $MM_1$

б) BC

Чтобы найти проекцию отрезка $BC$, спроецируем его концевые точки $B$ и $C$ на плоскость $ACC_1$.

Точка $C$ лежит в плоскости $ACC_1$, поэтому её проекцией является сама точка $C$.

Проекция точки $B$ на плоскость $ACC_1$ — это точка $M$ (середина $AC$).

Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BC$ на плоскость $ACC_1$ является отрезок $MC$.

Ответ: $MC$

в) BC₁

Чтобы найти проекцию отрезка $BC_1$, спроецируем его концевые точки $B$ и $C_1$ на плоскость $ACC_1$.

Точка $C_1$ лежит в плоскости $ACC_1$, поэтому её проекцией является сама точка $C_1$.

Проекция точки $B$ на плоскость $ACC_1$ — это точка $M$ (середина $AC$).

Следовательно, ортогональной проекцией отрезка $BC_1$ на плоскость $ACC_1$ является отрезок $MC_1$.

Ответ: $MC_1$