Номер 15.3, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15.3. Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр $AA'$ и наклонная $AB$. Найдите отрезок $AA'$, если $AB = 2\sqrt{10}$ см, $A'B = 3AA'$.

Дано:

$AA'$ - перпендикуляр к плоскости.

$AB$ - наклонная к плоскости.

$AB = 2\sqrt{10}$ см.

$A'B = 3AA'$.

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является допустимой единицей измерения длины в рамках данной задачи. Перевод в метры не требуется.

Найти:

$AA'$

Решение:

По условию задачи, отрезок $AA'$ является перпендикуляром к данной плоскости, а отрезок $AB$ является наклонной, проведенной из той же точки $A$ к этой плоскости. Точка $A'$ является основанием перпендикуляра, а точка $B$ является точкой на плоскости, куда проведена наклонная.

Отрезок $A'B$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость. В этом случае треугольник $AA'B$ является прямоугольным, так как перпендикуляр $AA'$ образует прямой угол с любой линией, лежащей в плоскости и проходящей через $A'$, в частности с $A'B$. Таким образом, $\angle AA'B = 90^\circ$.

Для прямоугольного треугольника $AA'B$ можем применить теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$AB^2 = AA'^2 + A'B^2$

Обозначим искомую длину отрезка $AA'$ как $x$. То есть, пусть $AA' = x$ см.

Согласно условию задачи, $A'B = 3AA'$. Подставим $x$ в это выражение:

$A'B = 3x$ см.

Теперь подставим известные значения $AB = 2\sqrt{10}$ см, $AA' = x$ см и $A'B = 3x$ см в уравнение теоремы Пифагора:

$(2\sqrt{10})^2 = x^2 + (3x)^2$

Выполним возведение в квадрат:

$(2\sqrt{10})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$

$(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$

Подставим эти значения обратно в уравнение:

$40 = x^2 + 9x^2$

Сложим подобные члены в правой части уравнения:

$40 = 10x^2$

Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 10:

$x^2 = \frac{40}{10}$

$x^2 = 4$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы берем только положительное значение корня:

$x = \sqrt{4}$

$x = 2$

Таким образом, длина отрезка $AA'$ составляет 2 см.

Ответ: 2 см.