Номер 14.17, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.17. Как связаны между собой перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки к плоскости.

Решение

Перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки к плоскости, тесно связаны между собой через геометрические свойства прямоугольного треугольника.

Представим, что из некоторой точки $A$, не лежащей в плоскости $\alpha$, проведены к этой плоскости отрезок $AH$, являющийся перпендикуляром, и отрезок $AB$, являющийся наклонной. Точка $H$ — это основание перпендикуляра на плоскости $\alpha$, а точка $B$ — основание наклонной на плоскости $\alpha$. Отрезок $HB$ называется проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

По определению, перпендикуляр $AH$ образует прямой угол ($90^\circ$) с любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через его основание $H$. В частности, $AH \perp HB$. Таким образом, отрезки $AH$, $HB$ и $AB$ образуют прямоугольный треугольник $AHB$, где прямой угол находится при вершине $H$.

В этом прямоугольном треугольнике:

• Отрезок $AH$ (перпендикуляр) является одним из катетов.

• Отрезок $HB$ (проекция наклонной) является другим катетом.

• Отрезок $AB$ (наклонная) является гипотенузой.

Согласно теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Для данного случая это выражается формулой:

$AB^2 = AH^2 + HB^2$

Из этой формулы следует, что длина наклонной $AB$ всегда больше длины перпендикуляра $AH$ (при условии, что проекция $HB$ не равна нулю, то есть наклонная не совпадает с перпендикуляром). Таким образом, перпендикуляр представляет собой кратчайшее расстояние от данной точки до плоскости.

Ответ: Перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки к плоскости, образуют прямоугольный треугольник вместе с проекцией наклонной. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а перпендикуляр и ее проекция — катетами. Вследствие этого наклонная всегда длиннее перпендикуляра, а перпендикуляр является кратчайшим расстоянием от точки до плоскости.