Номер 14.11, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.11. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $CE_1$;

б) $AA_1$ и $CF_1$;

в) $AB_1$ и $DE_1$;

г) $AB_1$ и $CF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Все ребра равны 1.

Длина ребра призмы $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

(Поскольку длина ребра задана как 1 "единица", перевод в систему СИ не требуется, так как результат будет выражен в тех же условных единицах длины).

Найти:

Расстояние между прямыми:

• а) $AA_1$ и $CE_1$;
• б) $AA_1$ и $CF_1$;
• в) $AB_1$ и $DE_1$;
• г) $AB_1$ и $CF_1$.

Решение:

Для решения задачи будем использовать координатный метод. Разместим центр нижнего основания призмы $O$ в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ в плоскости $z=0$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (в плоскости $z=1$):

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
• $D_1 = (-1, 0, 1)$
• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными как $\vec{r_1} = \vec{a_1} + t\vec{u_1}$ и $\vec{r_2} = \vec{a_2} + s\vec{u_2}$, находится по формуле:

$d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})|}{||\vec{u_1} \times \vec{u_2}||}$

Для параллельных прямых расстояние равно расстоянию от точки одной прямой до другой прямой.

а) AA₁ и CE₁

Выберем точки на прямых: $A(1, 0, 0)$ и $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторы направлений:

• Для $AA_1$: $\vec{u_1} = \vec{A_1} - \vec{A} = (1-1, 0-0, 1-0) = (0, 0, 1)$.
• Для $CE_1$: $\vec{u_2} = \vec{E_1} - \vec{C} = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1-0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = \vec{C} - \vec{A} = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3})) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = (\sqrt{3}, 0, 0)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u_1} \times \vec{u_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{3}$.

Скалярное произведение $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:

$(-3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (\sqrt{3}, 0, 0) = (-3/2) \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3}/2) \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -3\sqrt{3}/2$.

Расстояние $d = \frac{|-3\sqrt{3}/2|}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $3/2$

б) AA₁ и CF₁

Выберем точки на прямых: $A(1, 0, 0)$ и $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторы направлений:

• Для $AA_1$: $\vec{u_1} = (0, 0, 1)$.
• Для $CF_1$: $\vec{u_2} = \vec{F_1} - \vec{C} = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1-0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = \vec{C} - \vec{A} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-\sqrt{3})) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(0 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1) = (\sqrt{3}, 1, 0)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u_1} \times \vec{u_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Скалярное произведение $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:

$(-3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (\sqrt{3}, 1, 0) = (-3/2) \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3}/2) \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -3\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}$.

Расстояние $d = \frac{|-\sqrt{3}|}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}/2$

в) AB₁ и DE₁

Выберем точки на прямых: $A(1, 0, 0)$ и $D(-1, 0, 0)$.

Векторы направлений:

• Для $AB_1$: $\vec{u_1} = \vec{B_1} - \vec{A} = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.
• Для $DE_1$: $\vec{u_2} = \vec{E_1} - \vec{D} = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = \vec{D} - \vec{A} = (-1 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (-2, 0, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2)) - \vec{j}(-1/2 - 1/2) + \vec{k}(\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}, 1, 0)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u_1} \times \vec{u_2}|| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Скалярное произведение $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:

$(-2, 0, 0) \cdot (\sqrt{3}, 1, 0) = (-2) \cdot \sqrt{3} + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = -2\sqrt{3}$.

Расстояние $d = \frac{|-2\sqrt{3}|}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) AB₁ и CF₁

Выберем точки на прямых: $A(1, 0, 0)$ и $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторы направлений:

• Для $AB_1$: $\vec{u_1} = \vec{B_1} - \vec{A} = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.
• Для $CF_1$: $\vec{u_2} = \vec{F_1} - \vec{C} = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1-0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{a_2} - \vec{a_1} = \vec{C} - \vec{A} = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Векторное произведение $\vec{u_1} \times \vec{u_2}$:

$\vec{u_1} \times \vec{u_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3})) - \vec{j}(-1/2 - 1) + \vec{k}(\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) = (3\sqrt{3}/2, 3/2, 0)$.

Модуль векторного произведения: $||\vec{u_1} \times \vec{u_2}|| = \sqrt{(3\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{27/4 + 9/4} = \sqrt{36/4} = \sqrt{9} = 3$.

Скалярное произведение $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{u_1} \times \vec{u_2})$:

$(-3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (3\sqrt{3}/2, 3/2, 0) = (-3/2) \cdot (3\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (3/2) + 0 \cdot 0 = -9\sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4 = -6\sqrt{3}/4 = -3\sqrt{3}/2$.

Расстояние $d = \frac{|-3\sqrt{3}/2|}{3} = \frac{3\sqrt{3}/2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\sqrt{3}/2$