Номер 14.8, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.8. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 14.10). Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_2$ и $B_1C_1$;

б) $AA_2$ и $A_1D_1$;

в) $AB_1$ и $CC_1$;

г) $AB$ и $D_1C_2$;

д) $A_2B_2$ и $CC_1$.

Рис. 14.10

а) AA₂ и B₁C₁

Дано: Прямая AA₂ проходит через точки A(0,0,0) и A₂(0,0,2). Прямая B₁C₁ проходит через точки B₁(1,2,1) и C₁(2,2,1).

Найти: Расстояние между прямыми AA₂ и B₁C₁.

Решение:

Прямая AA₂ совпадает с осью z. Ее можно задать точкой $P_1 = A = (0,0,0)$ и направляющим вектором $v_1 = \vec{AA_2} = (0,0,2)$, который можно упростить до $v_1 = (0,0,1)$.

Прямая B₁C₁ проходит через точки B₁(1,2,1) и C₁(2,2,1). Она параллельна оси x. Ее можно задать точкой $P_2 = B_1 = (1,2,1)$ и направляющим вектором $v_2 = \vec{B_1C_1} = (2-1, 2-2, 1-1) = (1,0,0)$.

Данные прямые являются скрещивающимися, так как они не параллельны ($v_1$ и $v_2$ не коллинеарны) и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ (проходящей через $P_1$ с направлением $v_1$) и $L_2$ (проходящей через $P_2$ с направлением $v_2$) определяется по формуле: $d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (v_1 \times v_2)|}{||v_1 \times v_2||}$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $P_2 - P_1 = (1,2,1) - (0,0,0) = (1,2,1)$.

Векторное произведение направляющих векторов: $v_1 \times v_2 = (0,0,1) \times (1,0,0) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) = (0,1,0)$.

Модуль векторного произведения: $||v_1 \times v_2|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Смешанное произведение (скалярное произведение вектора $P_2 - P_1$ и $v_1 \times v_2$): $(P_2 - P_1) \cdot (v_1 \times v_2) = (1,2,1) \cdot (0,1,0) = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2$.

Расстояние $d = \frac{|2|}{1} = 2$.

Альтернативный метод: Прямая AA₂ совпадает с осью z. Прямая B₁C₁ параллельна оси x и находится в плоскости $z=1$ с $y$-координатой $2$. Кратчайшее расстояние от оси z до прямой B₁C₁ будет равно расстоянию от точки $(0,0,1)$ на оси z до точки $(0,2,1)$, которая является проекцией любой точки прямой B₁C_{1}$ на плоскость $x=0$. Это расстояние равно $\sqrt{(0-0)^2+(2-0)^2+(1-1)^2} = \sqrt{4} = 2$.}

Ответ: $2$

б) AA₂ и A₁D₁

Дано: Прямая AA₂ проходит через точки A(0,0,0) и A₂(0,0,2). Прямая A₁D₁ проходит через точки A₁(1,1,1) и D₁(2,1,1).

Найти: Расстояние между прямыми AA₂ и A₁D₁.

Решение:

Для прямой AA₂: $P_1 = A = (0,0,0)$, $v_1 = (0,0,1)$.

Для прямой A₁D₁: $P_2 = A_1 = (1,1,1)$, $v_2 = \vec{A_1D_1} = (2-1, 1-1, 1-1) = (1,0,0)$.

Вектор разности точек: $P_2 - P_1 = (1,1,1) - (0,0,0) = (1,1,1)$.

Векторное произведение направляющих векторов: $v_1 \times v_2 = (0,0,1) \times (1,0,0) = (0,1,0)$.

Модуль векторного произведения: $||v_1 \times v_2|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Смешанное произведение: $(P_2 - P_1) \cdot (v_1 \times v_2) = (1,1,1) \cdot (0,1,0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1$.

Расстояние $d = \frac{|1|}{1} = 1$.

Альтернативный метод: Прямая AA₂ совпадает с осью z. Прямая A₁D₁ параллельна оси x и находится в плоскости $z=1$ с $y$-координатой $1$. Кратчайшее расстояние от оси z до прямой A₁D₁ будет равно расстоянию от точки $(0,0,1)$ на оси z до точки $(0,1,1)$. Это расстояние равно $\sqrt{(0-0)^2+(1-0)^2+(1-1)^2} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$

в) AB₁ и CC₁

Дано: Прямая AB₁ проходит через точки A(0,0,0) и B₁(1,2,1). Прямая CC₁ проходит через точки C(2,2,0) и C₁(2,2,1).

Найти: Расстояние между прямыми AB₁ и CC₁.

Решение:

Для прямой AB₁: $P_1 = A = (0,0,0)$, $v_1 = \vec{AB_1} = (1,2,1)$.

Для прямой CC₁: $P_2 = C = (2,2,0)$, $v_2 = \vec{CC_1} = (2-2, 2-2, 1-0) = (0,0,1)$.

Вектор разности точек: $P_2 - P_1 = (2,2,0) - (0,0,0) = (2,2,0)$.

Векторное произведение направляющих векторов: $v_1 \times v_2 = (1,2,1) \times (0,0,1) = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (2,-1,0)$.

Модуль векторного произведения: $||v_1 \times v_2|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4+1+0} = \sqrt{5}$.

Смешанное произведение: $(P_2 - P_1) \cdot (v_1 \times v_2) = (2,2,0) \cdot (2,-1,0) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 4 - 2 + 0 = 2$.

Расстояние $d = \frac{|2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

г) AB и D₁C₂

Дано: Прямая AB проходит через точки A(0,0,0) и B(2,0,0). Прямая D₁C₂ проходит через точки D₁(2,1,1) и C₂(2,2,2).

Найти: Расстояние между прямыми AB и D₁C₂.

Решение:

Для прямой AB: $P_1 = A = (0,0,0)$, $v_1 = \vec{AB} = (2,0,0)$, можно взять $v_1 = (1,0,0)$.

Для прямой D₁C₂: $P_2 = D_1 = (2,1,1)$, $v_2 = \vec{D_1C_2} = (2-2, 2-1, 2-1) = (0,1,1)$.

Вектор разности точек: $P_2 - P_1 = (2,1,1) - (0,0,0) = (2,1,1)$.

Векторное произведение направляющих векторов: $v_1 \times v_2 = (1,0,0) \times (0,1,1) = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (0,-1,1)$.

Смешанное произведение: $(P_2 - P_1) \cdot (v_1 \times v_2) = (2,1,1) \cdot (0,-1,1) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 - 1 + 1 = 0$.

Поскольку смешанное произведение равно нулю, прямые либо параллельны, либо пересекаются. Направляющие векторы $v_1 = (1,0,0)$ и $v_2 = (0,1,1)$ не коллинеарны, следовательно, прямые не параллельны. Значит, они пересекаются.

Расстояние между пересекающимися прямыми равно $0$.

Для проверки найдем точку пересечения, приравняв параметрические уравнения прямых:

Прямая AB: $ (x,y,z) = (0,0,0) + t(1,0,0) = (t,0,0) $

Прямая D₁C₂: $ (x,y,z) = (2,1,1) + s(0,1,1) = (2, 1+s, 1+s) $

Приравнивая координаты: $ t = 2 $, $ 0 = 1+s \implies s = -1 $, $ 0 = 1+s \implies s = -1 $.

Значения параметров $t=2$ и $s=-1$ согласуются. Подставив $t=2$ в уравнение прямой AB, получаем точку $(2,0,0)$, которая является точкой B. Подставив $s=-1$ в уравнение прямой D₁C₂, получаем $(2, 1+(-1), 1+(-1)) = (2,0,0)$. Таким образом, прямые пересекаются в точке B(2,0,0).

Ответ: $0$

д) A₂B₂ и CC₁

Дано: Прямая A₂B₂ проходит через точки A₂(0,0,2) и B₂(2,0,2). Прямая CC₁ проходит через точки C(2,2,0) и C₁(2,2,1).

Найти: Расстояние между прямыми A₂B₂ и CC₁.

Решение:

Для прямой A₂B₂: $P_1 = A_2 = (0,0,2)$, $v_1 = \vec{A_2B_2} = (2-0, 0-0, 2-2) = (2,0,0)$, можно взять $v_1 = (1,0,0)$.

Для прямой CC₁: $P_2 = C = (2,2,0)$, $v_2 = \vec{CC_1} = (2-2, 2-2, 1-0) = (0,0,1)$.

Вектор разности точек: $P_2 - P_1 = (2,2,0) - (0,0,2) = (2,2,-2)$.

Векторное произведение направляющих векторов: $v_1 \times v_2 = (1,0,0) \times (0,0,1) = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0) = (0,-1,0)$.

Модуль векторного произведения: $||v_1 \times v_2|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1$.

Смешанное произведение: $(P_2 - P_1) \cdot (v_1 \times v_2) = (2,2,-2) \cdot (0,-1,0) = 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 0 = -2$.

Расстояние $d = \frac{|-2|}{1} = 2$.

Альтернативный метод: Прямая A₂B₂ лежит в плоскости $y=0$ на высоте $z=2$. Прямая CC₁ лежит в плоскости $x=2$ с $y$-координатой $2$. Эти прямые перпендикулярны. Кратчайшее расстояние между ними можно найти как расстояние между точкой $(2,0,2)$ на прямой A₂B₂ (проекция точки $C_2$ на эту прямую, или ближайшая точка к плоскости $x=2, y=2$) и точкой $(2,2,2)$ на прямой CC₁ (проекция точки $B_2$ на эту прямую, или ближайшая точка к плоскости $y=0, z=2$). Расстояние между $(2,0,2)$ и $(2,2,2)$ равно $\sqrt{(2-2)^2 + (2-0)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{0+4+0} = 2$.

Ответ: $2$