Номер 14.4, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.4. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 14.10). Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $C_1D_1$

б) $AB$ и $C_2D_2$

в) $AA_2$ и $CC_1$

г) $AA_2$ и $D_1C_2$

Дано:

Многогранник, изображенный на рис. 14.10, состоит из двух прямоугольных параллелепипедов. Размеры сторон указаны на рисунке в условных единицах длины. Определим координаты ключевых вершин, приняв точку A за начало координат (0,0,0): A = (0,0,0), B = (2,0,0), C = (2,2,0), D = (0,2,0), A₁ = (0,0,1), B₁ = (2,0,1), C₁ = (2,2,1), D₁ = (0,2,1), A₂ = (0,0,2), B₂ = (1,0,2), C₂ = (1,1,2), D₂ = (0,1,2).

Найти:

Расстояние между следующими парами прямых: а) AB и C₁D₁; б) AB и C₂D₂; в) AA₂ и CC₁; г) AA₂ и D₁C₂.

Решение:

Для нахождения расстояний между прямыми будем использовать формулы для параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.

а) AB и C₁D₁

Прямая AB проходит через точки A(0,0,0) и B(2,0,0). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AB} = (1,0,0)$.

Прямая C₁D₁ проходит через точки D₁(0,2,1) и C₁(2,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_1D_1} = (1,0,0)$.

Поскольку направляющие векторы параллельны, прямые AB и C₁D₁ также параллельны. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки на одной прямой до другой прямой.

Возьмем точку $P_1 = A(0,0,0)$ на прямой AB. Направляющий вектор $\vec{v} = (1,0,0)$. Возьмем точку $P_2 = D_1(0,2,1)$ на прямой C₁D₁.

Вектор $P_2 - P_1 = (0,2,1) - (0,0,0) = (0,2,1)$.

Расстояние $d = \frac{|(P_2 - P_1) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$.

$(P_2 - P_1) \times \vec{v} = (0,2,1) \times (1,0,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = (0, 1, -2)$.

$|(P_2 - P_1) \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$.

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

$d = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

б) AB и C₂D₂

Прямая AB: $P_1 = A(0,0,0)$, $\vec{v}_{AB} = (1,0,0)$.

Прямая C₂D₂ проходит через точки D₂(0,1,2) и C₂(1,1,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_2D_2} = (1,0,0)$.

Прямые AB и C₂D₂ параллельны.

Возьмем точку $P_2 = D_2(0,1,2)$ на прямой C₂D₂.

Вектор $P_2 - P_1 = (0,1,2) - (0,0,0) = (0,1,2)$.

$(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AB} = (0,1,2) \times (1,0,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (0, 2, -1)$.

$|(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AB}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$.

$|\vec{v}_{AB}| = 1$.

$d = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

в) AA₂ и CC₁

Прямая AA₂ проходит через точки A(0,0,0) и A₂(0,0,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AA_2} = (0,0,1)$. Возьмем $P_1 = A(0,0,0)$.

Прямая CC₁ проходит через точки C(2,2,0) и C₁(2,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{CC_1} = (0,0,1)$. Возьмем $P_2 = C(2,2,0)$.

Прямые AA₂ и CC₁ параллельны.

Вектор $P_2 - P_1 = (2,2,0) - (0,0,0) = (2,2,0)$.

$(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AA_2} = (2,2,0) \times (0,0,1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (2, -2, 0)$.

$|(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AA_2}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

$|\vec{v}_{AA_2}| = 1$.

$d = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

г) AA₂ и D₁C₂

Прямая AA₂: $P_1 = A(0,0,0)$, $\vec{v}_1 = (0,0,1)$.

Прямая D₁C₂ проходит через точки D₁(0,2,1) и C₂(1,1,2). Возьмем $P_2 = D_1(0,2,1)$.

Направляющий вектор $\vec{v}_2 = C_2 - D_1 = (1-0, 1-2, 2-1) = (1,-1,1)$.

Так как $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ не коллинеарны, прямые скрещивающиеся. Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле $d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}$.

Вектор $P_2 - P_1 = (0,2,1) - (0,0,0) = (0,2,1)$.

Векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (0,0,1) \times (1,-1,1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = (1, 1, 0)$.

Модуль векторного произведения $|(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Смешанное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (0,2,1) \cdot (1,1,0) = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 2 + 0 = 2$.

Расстояние $d = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$