Задания, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, в которых лежат эти прямые (рис. 14.5).

Рис. 14.5

Дано:

Прямые $a$ и $b$ являются скрещивающимися.

Плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$).

Плоскость $\beta$ содержит прямую $b$ ($b \subset \beta$).

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$).

Найти:

Доказать, что расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$ равно расстоянию между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Решение:

Для доказательства утверждения рассмотрим определения расстояния между скрещивающимися прямыми и расстояния между параллельными плоскостями.

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр — это единственный отрезок, перпендикулярный обеим прямым, концы которого лежат на этих прямых. Пусть $MN$ — общий перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, где $M \in a$ и $N \in b$. Тогда расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно $d(a,b) = MN$.

По определению общего перпендикуляра, $MN \perp a$ и $MN \perp b$.

Плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ ($a \subset \alpha$). Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), и прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$ ($b \subset \beta$), то плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$ ($\alpha \parallel b$). Это следует из того, что если плоскость параллельна другой плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей во второй плоскости. Аналогично, так как $\alpha \parallel \beta$ и $a \subset \alpha$, то плоскость $\beta$ параллельна прямой $a$ ($\beta \parallel a$).

Таким образом, плоскость $\alpha$ содержит прямую $a$ и параллельна прямой $b$, а плоскость $\beta$ содержит прямую $b$ и параллельна прямой $a$.

Докажем, что общий перпендикуляр $MN$ перпендикулярен плоскости $\alpha$. Мы знаем, что $MN \perp a$. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна прямой $b$, то существует прямая $b'$ в плоскости $\alpha$, проходящая через точку $M$ и параллельная прямой $b$. Так как $MN \perp b$ и $b' \parallel b$, то $MN \perp b'$. Прямые $a$ и $b'$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $M$ (они не могут быть параллельными, так как $a$ и $b$ скрещивающиеся, а $b' \parallel b$, значит $a$ не параллельна $b'$). Следовательно, отрезок $MN$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($a$ и $b'$) в плоскости $\alpha$, проходящим через точку $M$. Отсюда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что $MN \perp \alpha$.

Аналогично, можно показать, что $MN \perp \beta$. Так как $MN \perp b$ и существует прямая $a'$ в плоскости $\beta$, проходящая через точку $N$ и параллельная прямой $a$ (поскольку $\beta \parallel a$), то $MN \perp a'$. Прямые $b$ и $a'$ лежат в плоскости $\beta$ и пересекаются в точке $N$. Следовательно, $MN \perp \beta$.

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется длина любого отрезка, перпендикулярного этим плоскостям, концы которого лежат на этих плоскостях. Поскольку $MN \perp \alpha$ и $MN \perp \beta$, а $M \in \alpha$ (так как $M \in a$ и $a \subset \alpha$) и $N \in \beta$ (так как $N \in b$ и $b \subset \beta$), то длина отрезка $MN$ является расстоянием между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$. То есть $d(\alpha, \beta) = MN$.

Из приведенных рассуждений следует, что расстояние между скрещивающимися прямыми $a$ и $b$, равное $MN$, совпадает с расстоянием между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$, в которых лежат эти прямые, также равным $MN$.

Ответ: Доказано.