Номер 13.10, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.10. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$. Найдите расстояние между прямой $OB_1$ и плоскостью $DA_1C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a=1$.

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$.

Найти:

Расстояние между прямой $OB_1$ и плоскостью $DA_1C_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $A=(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба (для $a=1$):

• $A=(0,0,0)$

• $B=(1,0,0)$

• $C=(1,1,0)$

• $D=(0,1,0)$

• $A_1=(0,0,1)$

• $B_1=(1,0,1)$

• $C_1=(1,1,1)$

• $D_1=(0,1,1)$

Найдем координаты точки $O$. Точка $O$ является центром грани $ABCD$, то есть серединой диагонали $AC$.

$O = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Для прямой $OB_1$ нам необходим вектор направления. Вектор $\vec{OB_1}$ будет направляющим вектором этой прямой.

$\vec{OB_1} = B_1 - O = \left(1-\frac{1}{2}, 0-\frac{1}{2}, 1-0\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$.

Для удобства дальнейших вычислений можем использовать сонаправленный вектор $\vec{l} = (1, -1, 2)$.

Для плоскости $DA_1C_1$ нам необходим нормальный вектор и уравнение плоскости. Плоскость проходит через точки $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$

• $\vec{DC_1} = C_1 - D = (1-0, 1-1, 1-0) = (1, 0, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $DA_1C_1$ найдем как векторное произведение $\vec{DA_1}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, 1, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя нормальный вектор $\vec{n}=(-1,1,1)$ и одну из точек плоскости, например $D=(0,1,0)$:

$-1(x-0) + 1(y-1) + 1(z-0) = 0$

$-x + y - 1 + z = 0$

$-x + y + z - 1 = 0$.

Проверим, параллельна ли прямая $OB_1$ плоскости $DA_1C_1$. Прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор ортогонален нормальному вектору плоскости, то есть их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (1, -1, 2) \cdot (-1, 1, 1) = (1)(-1) + (-1)(1) + (2)(1) = -1 - 1 + 2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, прямая $OB_1$ параллельна плоскости $DA_1C_1$.

Расстояние между параллельной прямой и плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Возьмем точку $O = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ на прямой $OB_1$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Для плоскости $-x + y + z - 1 = 0$ имеем $A=-1, B=1, C=1, D=-1$.

Для точки $O(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ имеем $x_0=\frac{1}{2}, y_0=\frac{1}{2}, z_0=0$.

$d = \frac{\left|(-1)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)(0) + (-1)\right|}{\sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2}}$

$d = \frac{\left|-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 - 1\right|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$