Номер 13.5, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между:
а) прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$;
б) прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$.

13.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1 \text{ ед.}$.

Найти:

а) Расстояние между прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$.

б) Расстояние между прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

а) прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$.Плоскость $ACC_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$ и $C_1(1,1,1)$.

1. Докажем, что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1$.Прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$ (как вертикальные ребра куба).Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$ (что является той же плоскостью $ACC_1$).Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Таким образом, $BB_1 \parallel \text{плоскости } ACC_1$.

2. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Выберем точку $B(1,0,0)$ на прямой $BB_1$.

3. Найдем уравнение плоскости $ACC_1$.Векторы, лежащие в плоскости:$\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$$\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AC_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (1, -1, 0)$.Уравнение плоскости $ACC_1$ имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя нормальный вектор $(1,-1,0)$ и точку $A(0,0,0)$:$1(x-0) - 1(y-0) + 0(z-0) = 0$$x - y = 0$.

4. Найдем расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости $x-y=0$.Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ это $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.В нашем случае, $(x_0,y_0,z_0) = (1,0,0)$, а плоскость $1x-1y+0z+0=0$.$d = \frac{|1(1) - 1(0) + 0(0) + 0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

б) прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$

Прямая $AB$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$.Плоскость $CDA_1$ проходит через точки $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$.

1. Докажем, что прямая $AB$ параллельна плоскости $CDA_1$.Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ (как противоположные стороны квадрата $ABCD$).Прямая $CD$ лежит в плоскости $CDA_1$.Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $CDA_1$.

2. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Выберем точку $A(0,0,0)$ на прямой $AB$.

3. Найдем уравнение плоскости $CDA_1$.Векторы, лежащие в плоскости:$\vec{DC} = C - D = (1-0, 1-1, 0-0) = (1,0,0)$$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $CDA_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DC} \times \vec{DA_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = (0, -1, -1)$.Уравнение плоскости $CDA_1$ имеет вид $Ax+By+Cz+D'=0$. Используя нормальный вектор $(0,-1,-1)$ и точку $D(0,1,0)$:$0(x-0) - 1(y-1) - 1(z-0) = 0$$-y+1-z = 0$$y+z-1 = 0$.

4. Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до плоскости $y+z-1=0$.В нашем случае, $(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)$, а плоскость $0x+1y+1z-1=0$.$d = \frac{|0(0) + 1(0) + 1(0) - 1|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $