Номер 13.1, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 13.7) найдите расстояние между:

а) прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$;

б) прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.

Рис. 13.7

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ: Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

а) Расстояние между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$.
б) Расстояние между прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$.

Решение:

а) прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$
Прямая $AA_1$ является ребром куба. Плоскость $BCC_1$ – это плоскость грани $BCC_1B_1$.
Так как ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$, а ребро $BB_1$ лежит в плоскости $BCC_1B_1$, то прямая $AA_1$ параллельна плоскости $BCC_1B_1$.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AA_1$.
Ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, так как все грани куба взаимно перпендикулярны.
Таким образом, расстояние от точки $A$ до плоскости $BCC_1B_1$ равно длине отрезка $AB$.
Поскольку куб единичный, длина его ребра равна $a = 1$. Следовательно, $AB = 1$.

Ответ: $1$

б) прямой $AB_1$ и плоскостью $CDD_1$
Прямая $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$. Плоскость $CDD_1$ – это плоскость грани $CDD_1C_1$.
Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. В ней лежит прямая $AB_1$.
Грань $ABB_1A_1$ (содержащая $AB_1$) параллельна грани $CDD_1C_1$ (представленной плоскостью $CDD_1$), так как это противоположные грани куба.
Поскольку прямая $AB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, которая параллельна плоскости $CDD_1C_1$, то прямая $AB_1$ также параллельна плоскости $CDD_1C_1$.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Выберем точку $A$ на прямой $AB_1$.
Ребро $AD$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$, поскольку $AD$ перпендикулярно $CD$ и $AD$ перпендикулярно $DD_1$, а эти два пересекающихся ребра ($CD$ и $DD_1$) определяют плоскость $CDD_1C_1$.
Таким образом, расстояние от точки $A$ до плоскости $CDD_1C_1$ равно длине отрезка $AD$.
Поскольку куб единичный, длина его ребра равна $a = 1$. Следовательно, $AD = 1$.

Ответ: $1$