Номер 13.4, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.4. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 13.10). Найдите расстояние между плоскостями:

а) $ABB_1$ и $CDD_2$; б) $ADD_2$ и $BCC_1$; в) $ADD_2$ и $A_1 D_1 C_2$; г) $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$.

Дано: Многогранник, грани которого являются многоугольниками с прямыми углами, изображен на рисунке 13.10. Размеры сторон указаны на рисунке.Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Ось $Ox$ направлена вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вертикально вверх.На основе размеров на рисунке, координаты ключевых вершин многогранника:
$A=(0,0,0)$
$B=(2,0,0)$
$C=(2,2,0)$
$D=(0,2,0)$
$A_1=(1,0,1)$ (внутренний угол ступеньки, $A_1B_1=1$, $A_1D_1=1$)
$B_1=(2,0,1)$ (верхний правый передний угол нижней ступеньки)
$C_1=(2,2,1)$ (верхний правый задний угол нижней ступеньки)
$D_1=(1,2,1)$ (внутренний задний угол нижней ступеньки)
$A_2=(0,0,2)$ (верхний левый передний угол верхнего блока)
$B_2=(1,0,2)$ (внутренний передний угол верхнего блока, не подписан явно, но следует из геометрии)
$C_2=(1,2,2)$ (внутренний задний угол верхнего блока, $D_2C_2=1$)
$D_2=(0,2,2)$ (верхний левый задний угол верхнего блока)

Так как исходные данные (длины) не имеют указанных единиц измерения, перевод в систему СИ не требуется, и результат будет в тех же условных единицах.

Найти: Расстояние между следующими парами плоскостей:
а) $ABB_1$ и $CDD_2$
б) $ADD_2$ и $BCC_1$
в) $ADD_2$ и $A_1D_1C_2$
г) $ABC$ и $A_1B_1C_1$

Решение

а) Расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $CDD_2$.
Плоскость $ABB_1$ содержит точки $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$ и $B_1(2,0,1)$. Все эти точки имеют $y$-координату равную $0$. Следовательно, плоскость $ABB_1$ совпадает с координатной плоскостью $y=0$.
Плоскость $CDD_2$ содержит точки $C(2,2,0)$, $D(0,2,0)$ и $D_2(0,2,2)$. Все эти точки имеют $y$-координату равную $2$. Следовательно, плоскость $CDD_2$ совпадает с плоскостью $y=2$.
Поскольку обе плоскости являются параллельными плоскостями, перпендикулярными оси $Oy$, расстояние между ними равно модулю разности их $y$-координат.Расстояние $d = |2 - 0| = 2$.

Ответ: $2$.

б) Расстояние между плоскостями $ADD_2$ и $BCC_1$.
Плоскость $ADD_2$ содержит точки $A(0,0,0)$, $D(0,2,0)$ и $D_2(0,2,2)$. Все эти точки имеют $x$-координату равную $0$. Следовательно, плоскость $ADD_2$ совпадает с координатной плоскостью $x=0$.
Плоскость $BCC_1$ содержит точки $B(2,0,0)$, $C(2,2,0)$ и $C_1(2,2,1)$. Все эти точки имеют $x$-координату равную $2$. Следовательно, плоскость $BCC_1$ совпадает с плоскостью $x=2$.
Поскольку обе плоскости являются параллельными плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$, расстояние между ними равно модулю разности их $x$-координат.Расстояние $d = |2 - 0| = 2$.

Ответ: $2$.

в) Расстояние между плоскостями $ADD_2$ и $A_1D_1C_2$.
Плоскость $ADD_2$ совпадает с плоскостью $x=0$, как было определено в пункте б).
Плоскость $A_1D_1C_2$ содержит точки $A_1(1,0,1)$, $D_1(1,2,1)$ и $C_2(1,2,2)$. Все эти точки имеют $x$-координату равную $1$. Следовательно, плоскость $A_1D_1C_2$ совпадает с плоскостью $x=1$.
Поскольку обе плоскости являются параллельными плоскостями, перпендикулярными оси $Ox$, расстояние между ними равно модулю разности их $x$-координат.Расстояние $d = |1 - 0| = 1$.

Ответ: $1$.

г) Расстояние между плоскостями $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
Плоскость $ABC$ содержит точки $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$ и $C(2,2,0)$. Все эти точки имеют $z$-координату равную $0$. Следовательно, плоскость $ABC$ совпадает с координатной плоскостью $z=0$.
Плоскость $A_1B_1C_1$ содержит точки $A_1(1,0,1)$, $B_1(2,0,1)$ и $C_1(2,2,1)$. Все эти точки имеют $z$-координату равную $1$. Следовательно, плоскость $A_1B_1C_1$ совпадает с плоскостью $z=1$.
Поскольку обе плоскости являются параллельными плоскостями, перпендикулярными оси $Oz$, расстояние между ними равно модулю разности их $z$-координат.Расстояние $d = |1 - 0| = 1$.

Ответ: $1$.