Номер 13.11, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.11. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны 1.

Найдите расстояние между прямой $AB$ и плоскостью $CA_1 B_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние между прямой $AB$ и плоскостью $CA_1 B_1$.

Решение:

1. Определим положение прямой $AB$ относительно плоскости $CA_1 B_1$. Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1 B_1$, так как они являются соответствующими сторонами оснований правильной призмы. Прямая $A_1 B_1$ лежит в плоскости $CA_1 B_1$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $CA_1 B_1$.

2. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на этой прямой до этой плоскости. Для удобства выберем середину $M$ ребра $AB$ в качестве точки, от которой будем искать расстояние.

3. Введем систему координат. Разместим начало координат в точке $M$. Ось $Ox$ направим вдоль $MB$, ось $Oy$ вдоль $MC$ (медианы равностороннего треугольника $ABC$), а ось $Oz$ вдоль $MM_1$ (где $M_1$ - середина $A_1 B_1$).

4. Вычислим координаты ключевых точек:

• $M = (0, 0, 0)$
• $A = (-\frac{1}{2}, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, 0, 0)$
• Так как $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной 1, высота $CM$ равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $C = (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Так как $AA_1 = 1$ и $AA_1 \perp$ плоскости основания, то $A_1 = (-\frac{1}{2}, 0, 1)$, $B_1 = (\frac{1}{2}, 0, 1)$.

5. Найдем уравнение плоскости $CA_1 B_1$. Для этого нам нужны три точки, лежащие в плоскости: $C(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $A_1(-\frac{1}{2}, 0, 1)$, $B_1(\frac{1}{2}, 0, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{CA_1} = A_1 - C = (-\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости, взяв векторное произведение $\vec{CA_1} \times \vec{CB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} ((-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((-\frac{1}{2})(1) - (1)(\frac{1}{2})) + \mathbf{k} ((-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения умножим вектор нормали на 2: $\vec{n} = (0, 2, \sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты вектора нормали, получаем $0 \cdot x + 2 \cdot y + \sqrt{3} \cdot z + D = 0$, или $2y + \sqrt{3}z + D = 0$.

Подставим координаты точки $C(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(0) + D = 0$

$\sqrt{3} + D = 0 \Rightarrow D = -\sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $CA_1 B_1$ есть $2y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

6. Вычислим расстояние от точки $M(0,0,0)$ до плоскости $2y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$ по формуле расстояния от точки до плоскости $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$:

$d = \frac{|0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{0 + 4 + 3}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$