Номер 14.1, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.1. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BB_1$;

б) $AA_1$ и $CC_1$;

в) $AA_1$ и $BC$;

г) $AA_1$ и $CD$;

д) $AA_1$ и $BC_1$;

е) $AA_1$ и $CD_1$;

ж) $AA_1$ и $BD$;

з) $AB_1$ и $CD_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба: $a = 1$ (единица длины).

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ метр (если не указано, принимаем единичную длину за 1 метр для приведения в СИ).

Найти:

Расстояние между указанными парами прямых.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x$, $y$, $z$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

а) AA_1 и BB_1

Прямые $AA_1$ и $BB_1$ являются параллельными ребрами куба. Расстояние между параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра. Отрезок $AB$ (или $A_1B_1$) является общим перпендикуляром, так как $AB \perp AA_1$ и $AB \perp BB_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Расстояние: $d = AB = a = 1$.

Ответ: $1$

б) AA_1 и CC_1

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются параллельными ребрами куба. Расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра. Таким перпендикуляром может служить отрезок, соединяющий точки $A$ и $C$ в плоскости основания. Точнее, расстояние между этими параллельными прямыми равно расстоянию между проекциями этих прямых на плоскость $z=0$, то есть расстоянию между точками $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$.

Расстояние: $d = AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

в) AA_1 и BC

Прямая $AA_1$ - это ребро куба, лежащее на оси $z$. Прямая $BC$ - это ребро основания, лежащее в плоскости $z=0$ и параллельное оси $y$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AB$ является общим перпендикуляром для прямых $AA_1$ и $BC$, так как $AB \perp AA_1$ (ось $x$ перпендикулярна оси $z$) и $AB \perp BC$ (стороны квадрата $ABCD$).

Расстояние: $d = AB = a = 1$.

Ответ: $1$

г) AA_1 и CD

Прямая $AA_1$ - это ребро куба, лежащее на оси $z$. Прямая $CD$ - это ребро основания, лежащее в плоскости $z=0$ и параллельное оси $x$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AD$ является общим перпендикуляром для прямых $AA_1$ и $CD$, так как $AD \perp AA_1$ (ось $y$ перпендикулярна оси $z$) и $AD \perp CD$ (стороны квадрата $ABCD$).

Расстояние: $d = AD = a = 1$.

Ответ: $1$

д) AA_1 и BC_1

Прямая $AA_1$ - это ребро куба (ось $z$). Прямая $BC_1$ - это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AA_1$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$ (эта плоскость описывается уравнением $x=1$). Расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна плоскости, содержащей другую, равно расстоянию от любой точки первой прямой до этой плоскости.

Возьмем точку $A(0,0,0)$ на прямой $AA_1$. Расстояние от $A(0,0,0)$ до плоскости $x=1$ равно $1$.

Расстояние: $d = 1$.

Ответ: $1$

е) AA_1 и CD_1

Прямая $AA_1$ - это ребро куба (ось $z$). Прямая $CD_1$ - это диагональ боковой грани $CDD_1C_1$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AA_1$ параллельна плоскости грани $CDD_1C_1$ (эта плоскость описывается уравнением $y=1$).

Возьмем точку $A(0,0,0)$ на прямой $AA_1$. Расстояние от $A(0,0,0)$ до плоскости $y=1$ равно $1$.

Расстояние: $d = 1$.

Ответ: $1$

ж) AA_1 и BD

Прямая $AA_1$ - это ребро куба (ось $z$). Прямая $BD$ - это диагональ основания $ABCD$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, в которой лежит прямая $BD$. Расстояние между такими скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки пересечения первой прямой с плоскостью (точки $A(0,0,0)$) до второй прямой ($BD$).

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $BD$ в плоскости $ABCD$. Точки $B(1,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Уравнение прямой, проходящей через $B$ и $D$, имеет вид $x+y-1=0$ (в плоскости $z=0$).

Расстояние $h$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле: $h = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

Для точки $A(0,0,0)$ и прямой $x+y-1=0$:

$h = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

з) AB_1 и CD_1

Прямая $AB_1$ проходит через $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = (1,0,1)$.

Прямая $CD_1$ проходит через $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (-1,0,1)$.

Эти прямые скрещиваются (их направляющие векторы не коллинеарны, и приравнивание параметрических уравнений $(t,0,t)$ и $(1-s,1,s)$ приводит к противоречию $0=1$).

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$.

В качестве точки $\vec{P_1}$ на $AB_1$ возьмем $A(0,0,0)$.

В качестве точки $\vec{P_2}$ на $CD_1$ возьмем $C(1,1,0)$.

Вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = C - A = (1,1,0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) = (0, -2, 0)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(1,1,0) \cdot (0,-2,0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = -2$.

Расстояние $d = \frac{|-2|}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1$