Номер 14.7, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.7. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $B_1C_1$;

б) $AA_1$ и $C_1D_1$;

в) $AA_1$ и $CD_1$;

г) $AA_1$ и $DE_1$;

д) $AA_1$ и $BD_1$.

Для решения задачи будем использовать прямоугольную систему координат. Поместим центр нижнего основания правильной шестиугольной призмы в начало координат $(0,0,0)$. Длина стороны основания $a=1$. Высота призмы $h=1$. Координаты вершин нижнего основания: $A = (1, 0, 0)$ $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$ $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ Координаты вершин верхнего основания: $A_1 = (1, 0, 1)$ $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ $D_1 = (-1, 0, 1)$ $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$ $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Прямая $AA_1$ проходит через точки $(1,0,0)$ и $(1,0,1)$, поэтому ее направляющий вектор $\vec{v_1} = (0,0,1)$. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}, \vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$.

Заметим, что прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскостям оснований. Если вторая прямая лежит в одной из плоскостей оснований, то расстояние между $AA_1$ и этой прямой равно расстоянию от точки $A_1$ (или $A$) до проекции второй прямой на плоскость, проходящую через $A_1$ (или $A$) и перпендикулярной $AA_1$. В данном случае это будет расстояние от $A_1$ до второй прямой в плоскости верхнего основания (или от $A$ до второй прямой в плоскости нижнего основания).

а) AA_1 и B_1C_1

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1. Длина стороны основания $a = 1$. Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ м. Высота призмы $h = 1$ м.

Найти: Расстояние между прямыми $AA_1$ и $B_1C_1$.

Решение: Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Прямая $B_1C_1$ лежит в этой плоскости. Следовательно, расстояние между $AA_1$ и $B_1C_1$ равно расстоянию от точки $A_1$ до прямой $B_1C_1$ в плоскости верхнего основания. Рассмотрим верхнее основание. $A_1=(1,0,1)$, $B_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $C_1=(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. В плоскости $z=1$ координаты $A_1=(1,0)$, $B_1=(1/2, \sqrt{3}/2)$, $C_1=(-1/2, \sqrt{3}/2)$. Прямая, проходящая через $B_1$ и $C_1$, имеет уравнение $y = \sqrt{3}/2$. Расстояние от точки $A_1(1,0)$ до прямой $y - \sqrt{3}/2 = 0$ равно: $d = \frac{|0 - \sqrt{3}/2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) AA_1 и C_1D_1

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1. Длина стороны основания $a = 1$. Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ м. Высота призмы $h = 1$ м.

Найти: Расстояние между прямыми $AA_1$ и $C_1D_1$.

Решение: Аналогично предыдущему пункту, расстояние равно расстоянию от точки $A_1$ до прямой $C_1D_1$ в плоскости верхнего основания. $A_1=(1,0,1)$, $C_1=(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$, $D_1=(-1,0,1)$. В плоскости $z=1$ координаты $A_1=(1,0)$, $C_1=(-1/2, \sqrt{3}/2)$, $D_1=(-1,0)$. Уравнение прямой, проходящей через $C_1$ и $D_1$: Наклон $m = \frac{0 - \sqrt{3}/2}{-1 - (-1/2)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$. Уравнение: $y - 0 = \sqrt{3}(x - (-1)) \Rightarrow y = \sqrt{3}(x+1) \Rightarrow \sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$. Расстояние от точки $A_1(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$: $d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Это расстояние является расстоянием между параллельными сторонами шестиугольника ($A_1F_1$ и $C_1D_1$), которое равно удвоенной апофеме $2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Для $a=1$, это $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

в) AA_1 и CD_1

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1. Длина стороны основания $a = 1$. Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ м. Высота призмы $h = 1$ м.

Найти: Расстояние между прямыми $AA_1$ и $CD_1$.

Решение: Прямая $AA_1$: точка $P_1 = A = (1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = (0,0,1)$. Прямая $CD_1$: точка $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, точка $D_1 = (-1,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = D_1 - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{P_1P_2} = \vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0,0,1) \times (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1) = $ $( (0)(1) - (1)(-\sqrt{3}/2), (1)(-1/2) - (0)(1), (0)(-\sqrt{3}/2) - (0)(-1/2) ) = (\sqrt{3}/2, -1/2, 0)$. Модуль этого вектора: $\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4} = \sqrt{1} = 1$. Скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$: $(-3/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (\sqrt{3}/2, -1/2, 0) = (-3/2)(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2)(-1/2) + (0)(0) = -\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$. Расстояние $d = \frac{|-\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$. Альтернативный геометрический подход: Найдем точки $P_1$ на $AA_1$ и $P_2$ на $CD_1$, для которых вектор $\vec{P_1P_2}$ перпендикулярен обеим прямым. Пусть $P_1=(1,0,z_1)$ и $P_2=C+t\vec{v_2} = (-1/2 - t/2, \sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2, t)$. Вектор $\vec{P_1P_2} = (-1/2 - t/2 - 1, \sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2 - 0, t-z_1)$. Так как $\vec{P_1P_2} \perp \vec{v_1}=(0,0,1)$, то $t-z_1=0$, то есть $z_1=t$. $\vec{P_1P_2} = (-3/2 - t/2, \sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2, 0)$. Теперь требуем $\vec{P_1P_2} \perp \vec{v_2}=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$: $(-3/2 - t/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(1) = 0$ $3/4 + t/4 - 3/4 + 3t/4 = 0$ $t/4 + 3t/4 = 0 \Rightarrow t=0$. При $t=0$, $P_1=(1,0,0)=A$ и $P_2=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)=C$. Тогда общим перпендикуляром является отрезок $AC$. Его длина: $AC = \sqrt{(1 - (-1/2))^2 + (0 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) AA_1 и DE_1

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1. Длина стороны основания $a = 1$. Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ м. Высота призмы $h = 1$ м.

Найти: Расстояние между прямыми $AA_1$ и $DE_1$.

Решение: Прямая $AA_1$: точка $P_1 = A = (1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = (0,0,1)$. Прямая $DE_1$: точка $D = (-1,0,0)$, точка $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{P_1P_2} = \vec{AD} = D - A = (-1 - 1, 0 - 0, 0 - 0) = (-2,0,0)$. Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0,0,1) \times (1/2, -\sqrt{3}/2, 1) = $ $( (0)(1) - (1)(-\sqrt{3}/2), (1)(1/2) - (0)(1), (0)(-\sqrt{3}/2) - (0)(1/2) ) = (\sqrt{3}/2, 1/2, 0)$. Модуль этого вектора: $\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 1/4} = \sqrt{1} = 1$. Скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$: $(-2,0,0) \cdot (\sqrt{3}/2, 1/2, 0) = (-2)(\sqrt{3}/2) + (0)(1/2) + (0)(0) = -\sqrt{3}$. Расстояние $d = \frac{|-\sqrt{3}|}{1} = \sqrt{3}$. Альтернативный геометрический подход: Найдем точки $P_1$ на $AA_1$ и $P_2$ на $DE_1$, для которых вектор $\vec{P_1P_2}$ перпендикулярен обеим прямым. Пусть $P_1=(1,0,z_1)$ и $P_2=D+t\vec{v_2} = (-1 + t/2, -t\sqrt{3}/2, t)$. Вектор $\vec{P_1P_2} = (-1 + t/2 - 1, -t\sqrt{3}/2 - 0, t-z_1) = (-2 + t/2, -t\sqrt{3}/2, t-z_1)$. Так как $\vec{P_1P_2} \perp \vec{v_1}=(0,0,1)$, то $t-z_1=0$, то есть $z_1=t$. $\vec{P_1P_2} = (-2 + t/2, -t\sqrt{3}/2, 0)$. Теперь требуем $\vec{P_1P_2} \perp \vec{v_2}=(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$: $(-2 + t/2)(1/2) + (-t\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(1) = 0$ $-1 + t/4 + 3t/4 = 0$ $-1 + t = 0 \Rightarrow t=1$. При $t=1$, $P_1=(1,0,1)=A_1$ и $P_2=(-1 + 1/2, -\sqrt{3}/2, 1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1) = E_1$. Тогда общим перпендикуляром является отрезок $A_1E_1$. Его длина: $A_1E_1 = \sqrt{(-1/2-1)^2 + (-\sqrt{3}/2-0)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

д) AA_1 и BD_1

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1. Длина стороны основания $a = 1$. Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ: Длина ребра $a = 1$ м. Высота призмы $h = 1$ м.

Найти: Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.

Решение: Прямая $AA_1$: точка $P_1 = A = (1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = (0,0,1)$. Прямая $BD_1$: точка $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, точка $D_1 = (-1,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{BD_1} = D_1 - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{P_1P_2} = \vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0,0,1) \times (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1) = $ $( (0)(1) - (1)(-\sqrt{3}/2), (1)(-3/2) - (0)(1), (0)(-\sqrt{3}/2) - (0)(-3/2) ) = (\sqrt{3}/2, -3/2, 0)$. Модуль этого вектора: $\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + 0^2} = \sqrt{3/4 + 9/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$. Скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$: $(-1/2, \sqrt{3}/2, 0) \cdot (\sqrt{3}/2, -3/2, 0) = (-1/2)(\sqrt{3}/2) + (\sqrt{3}/2)(-3/2) + (0)(0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4} = -\frac{4\sqrt{3}}{4} = -\sqrt{3}$. Расстояние $d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 1$. Альтернативный геометрический подход: Найдем точки $P_1$ на $AA_1$ и $P_2$ на $BD_1$, для которых вектор $\vec{P_1P_2}$ перпендикулярен обеим прямым. Пусть $P_1=(1,0,z_1)$ и $P_2=B+t\vec{v_2} = (1/2 - 3t/2, \sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2, t)$. Вектор $\vec{P_1P_2} = (1/2 - 3t/2 - 1, \sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2 - 0, t-z_1) = (-1/2 - 3t/2, \sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2, t-z_1)$. Так как $\vec{P_1P_2} \perp \vec{v_1}=(0,0,1)$, то $t-z_1=0$, то есть $z_1=t$. $\vec{P_1P_2} = (-1/2 - 3t/2, \sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2, 0)$. Теперь требуем $\vec{P_1P_2} \perp \vec{v_2}=(-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$: $(-1/2 - 3t/2)(-3/2) + (\sqrt{3}/2 - t\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(1) = 0$ $3/4 + 9t/4 - 3/4 + 3t/4 = 0$ $9t/4 + 3t/4 = 0 \Rightarrow 12t/4 = 0 \Rightarrow 3t=0 \Rightarrow t=0$. При $t=0$, $P_1=(1,0,0)=A$ и $P_2=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)=B$. Тогда общим перпендикуляром является отрезок $AB$. Его длина: $AB = \sqrt{(1 - 1/2)^2 + (0 - \sqrt{3}/2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: $1$