Номер 14.6, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.6. У правильной треугольной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ (рис. 14.8) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Рис. 14.8

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все рёбра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми $AA_1$ и $BC_1$ воспользуемся методом проекций.

Прямая $AA_1$ является боковым ребром правильной призмы, следовательно, она перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ можно найти как расстояние от точки пересечения прямой $L_1$ с плоскостью $\Pi$, перпендикулярной $L_1$, до проекции прямой $L_2$ на эту же плоскость $\Pi$.

В нашем случае:

• Прямая $L_1$ – это $AA_1$.
• Плоскость $\Pi$, перпендикулярная $AA_1$, – это плоскость основания $ABC$.
• Точка пересечения прямой $AA_1$ с плоскостью $ABC$ – это точка $A$.
• Прямая $L_2$ – это $BC_1$.
• Проекция прямой $BC_1$ на плоскость $ABC$: Точка $B_1$ проецируется в точку $B$, а точка $C_1$ проецируется в точку $C$, так как $BB_1 \perp ABC$ и $CC_1 \perp ABC$. Следовательно, проекцией отрезка $BC_1$ на плоскость $ABC$ является отрезок $BC$.

Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния от точки $A$ до прямой $BC$ в плоскости основания $ABC$.

Основание призмы $ABC$ – это равносторонний треугольник, поскольку призма правильная, и все его стороны равны 1 (так как все рёбра призмы равны 1).

Расстояние от вершины $A$ до стороны $BC$ в равностороннем треугольнике $ABC$ – это высота этого треугольника, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$.

Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ имеет вид:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a=1$:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Следовательно, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$