Номер 14.2, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.2. У правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14.8) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC$;

б) $AB$ и $A_1C_1$.

Рис. 14.8

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

а) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$.

б) Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$.

Решение

а) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы, а прямая $BC$ является ребром основания $ABC$.

Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Прямая $BC$ лежит в плоскости основания $ABC$.

Расстояние между прямой $AA_1$ и прямой $BC$ (которые являются скрещивающимися прямыми) равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AA_1$ на прямую $BC$ в плоскости, проходящей через $BC$ и перпендикулярной $AA_1$. Поскольку $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то кратчайшее расстояние между $AA_1$ и $BC$ будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ (которая лежит на $AA_1$) на прямую $BC$ в плоскости основания $ABC$.

Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как призма правильная и все ее ребра равны 1. Длина стороны равностороннего треугольника $a = 1$.

Расстояние от вершины $A$ до стороны $BC$ в равностороннем треугольнике - это его высота. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.

Подставляем значение $a = 1$: $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$

Прямая $AB$ является ребром нижнего основания $ABC$. Прямая $A_1C_1$ является ребром верхнего основания $A_1B_1C_1$.

Плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ правильной призмы параллельны.

Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими параллельными плоскостями.

Расстояние между плоскостями оснований призмы равно длине бокового ребра призмы.

По условию задачи, длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, длина бокового ребра $AA_1$ (и любого другого бокового ребра) равна 1.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равно 1.

Ответ: $1$