Страница 83 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14.1. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 14.7) найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BB_1$;

б) $AA_1$ и $CC_1$;

в) $AA_1$ и $BC$;

г) $AA_1$ и $CD$;

д) $AA_1$ и $BC_1$;

е) $AA_1$ и $CD_1$;

ж) $AA_1$ и $BD$;

з) $AB_1$ и $CD_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба: $a = 1$ (единица длины).

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ метр (если не указано, принимаем единичную длину за 1 метр для приведения в СИ).

Найти:

Расстояние между указанными парами прямых.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x$, $y$, $z$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

а) AA_1 и BB_1

Прямые $AA_1$ и $BB_1$ являются параллельными ребрами куба. Расстояние между параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра. Отрезок $AB$ (или $A_1B_1$) является общим перпендикуляром, так как $AB \perp AA_1$ и $AB \perp BB_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Расстояние: $d = AB = a = 1$.

Ответ: $1$

б) AA_1 и CC_1

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются параллельными ребрами куба. Расстояние между ними равно длине общего перпендикуляра. Таким перпендикуляром может служить отрезок, соединяющий точки $A$ и $C$ в плоскости основания. Точнее, расстояние между этими параллельными прямыми равно расстоянию между проекциями этих прямых на плоскость $z=0$, то есть расстоянию между точками $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$.

Расстояние: $d = AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

в) AA_1 и BC

Прямая $AA_1$ - это ребро куба, лежащее на оси $z$. Прямая $BC$ - это ребро основания, лежащее в плоскости $z=0$ и параллельное оси $y$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AB$ является общим перпендикуляром для прямых $AA_1$ и $BC$, так как $AB \perp AA_1$ (ось $x$ перпендикулярна оси $z$) и $AB \perp BC$ (стороны квадрата $ABCD$).

Расстояние: $d = AB = a = 1$.

Ответ: $1$

г) AA_1 и CD

Прямая $AA_1$ - это ребро куба, лежащее на оси $z$. Прямая $CD$ - это ребро основания, лежащее в плоскости $z=0$ и параллельное оси $x$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AD$ является общим перпендикуляром для прямых $AA_1$ и $CD$, так как $AD \perp AA_1$ (ось $y$ перпендикулярна оси $z$) и $AD \perp CD$ (стороны квадрата $ABCD$).

Расстояние: $d = AD = a = 1$.

Ответ: $1$

д) AA_1 и BC_1

Прямая $AA_1$ - это ребро куба (ось $z$). Прямая $BC_1$ - это диагональ боковой грани $BCC_1B_1$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AA_1$ параллельна плоскости грани $BCC_1B_1$ (эта плоскость описывается уравнением $x=1$). Расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых параллельна плоскости, содержащей другую, равно расстоянию от любой точки первой прямой до этой плоскости.

Возьмем точку $A(0,0,0)$ на прямой $AA_1$. Расстояние от $A(0,0,0)$ до плоскости $x=1$ равно $1$.

Расстояние: $d = 1$.

Ответ: $1$

е) AA_1 и CD_1

Прямая $AA_1$ - это ребро куба (ось $z$). Прямая $CD_1$ - это диагональ боковой грани $CDD_1C_1$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AA_1$ параллельна плоскости грани $CDD_1C_1$ (эта плоскость описывается уравнением $y=1$).

Возьмем точку $A(0,0,0)$ на прямой $AA_1$. Расстояние от $A(0,0,0)$ до плоскости $y=1$ равно $1$.

Расстояние: $d = 1$.

Ответ: $1$

ж) AA_1 и BD

Прямая $AA_1$ - это ребро куба (ось $z$). Прямая $BD$ - это диагональ основания $ABCD$. Эти прямые скрещиваются.

Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, в которой лежит прямая $BD$. Расстояние между такими скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки пересечения первой прямой с плоскостью (точки $A(0,0,0)$) до второй прямой ($BD$).

Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до прямой $BD$ в плоскости $ABCD$. Точки $B(1,0,0)$ и $D(0,1,0)$. Уравнение прямой, проходящей через $B$ и $D$, имеет вид $x+y-1=0$ (в плоскости $z=0$).

Расстояние $h$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле: $h = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

Для точки $A(0,0,0)$ и прямой $x+y-1=0$:

$h = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

з) AB_1 и CD_1

Прямая $AB_1$ проходит через $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB_1} = (1,0,1)$.

Прямая $CD_1$ проходит через $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = (-1,0,1)$.

Эти прямые скрещиваются (их направляющие векторы не коллинеарны, и приравнивание параметрических уравнений $(t,0,t)$ и $(1-s,1,s)$ приводит к противоречию $0=1$).

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$.

В качестве точки $\vec{P_1}$ на $AB_1$ возьмем $A(0,0,0)$.

В качестве точки $\vec{P_2}$ на $CD_1$ возьмем $C(1,1,0)$.

Вектор $\vec{P_2} - \vec{P_1} = C - A = (1,1,0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) = (0, -2, 0)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(1,1,0) \cdot (0,-2,0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 0 = -2$.

Расстояние $d = \frac{|-2|}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1$

14.2. У правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 14.8) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC$;

б) $AB$ и $A_1C_1$.

Рис. 14.8

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

а) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$.

б) Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$.

Решение

а) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$

Прямая $AA_1$ является боковым ребром призмы, а прямая $BC$ является ребром основания $ABC$.

Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.

Прямая $BC$ лежит в плоскости основания $ABC$.

Расстояние между прямой $AA_1$ и прямой $BC$ (которые являются скрещивающимися прямыми) равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $AA_1$ на прямую $BC$ в плоскости, проходящей через $BC$ и перпендикулярной $AA_1$. Поскольку $AA_1$ перпендикулярна плоскости $ABC$, то кратчайшее расстояние между $AA_1$ и $BC$ будет равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ (которая лежит на $AA_1$) на прямую $BC$ в плоскости основания $ABC$.

Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как призма правильная и все ее ребра равны 1. Длина стороны равностороннего треугольника $a = 1$.

Расстояние от вершины $A$ до стороны $BC$ в равностороннем треугольнике - это его высота. Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.

Подставляем значение $a = 1$: $h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$

Прямая $AB$ является ребром нижнего основания $ABC$. Прямая $A_1C_1$ является ребром верхнего основания $A_1B_1C_1$.

Плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ правильной призмы параллельны.

Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими параллельными плоскостями.

Расстояние между плоскостями оснований призмы равно длине бокового ребра призмы.

По условию задачи, длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, длина бокового ребра $AA_1$ (и любого другого бокового ребра) равна 1.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равно 1.

Ответ: $1$

14.3. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ (рис. 14.9) все ребра равны 1. Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $A_1 B_1$;

б) $AB$ и $B_1 C_1$;

в) $AA_1$ и $CC_1$;

г) $AA_1$ и $DD_1$.

Рис. 14.9

Дано

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ

Поскольку длина ребра задана как $1$ без указания единиц, будем использовать ее как условную единицу длины.

Длина ребра основания $a = 1$ (усл. ед.).

Высота призмы $h = 1$ (усл. ед.).

Найти

а) Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1B_1$.

б) Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

в) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$.

г) Расстояние между прямыми $AA_1$ и $DD_1$.

Решение

а) $AB$ и $A_1B_1$

Прямые $AB$ и $A_1B_1$ являются соответствующими ребрами нижнего и верхнего оснований призмы. Поскольку основания призмы лежат в параллельных плоскостях, прямые $AB$ и $A_1B_1$ параллельны. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны основаниям. Следовательно, расстояние между $AB$ и $A_1B_1$ равно длине бокового ребра, то есть высоте призмы $h$. По условию, все ребра призмы равны $1$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $A_1B_1$ равно $1$.

Ответ: $1$

б) $AB$ и $B_1C_1$

Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскости оснований призмы параллельны. Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются. Расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащими в параллельных плоскостях, равно расстоянию между этими плоскостями. Расстояние между плоскостями оснований призмы равно ее высоте. По условию, высота призмы равна длине любого ее ребра, то есть $h = 1$.

Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равно $1$.

Ответ: $1$

в) $AA_1$ и $CC_1$

Прямые $AA_1$ и $CC_1$ являются боковыми ребрами призмы. В правильной призме боковые ребра параллельны друг другу. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. Поскольку боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, то расстояние между $AA_1$ и $CC_1$ равно расстоянию между точками $A$ и $C$ в плоскости основания. Основание призмы - правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в плоскости основания. Длины сторон $AB = BC = 1$. Угол $ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$. Используем теорему косинусов для нахождения длины отрезка $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$AC^2 = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Таким образом, расстояние между прямыми $AA_1$ и $CC_1$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

г) $AA_1$ и $DD_1$

Прямые $AA_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами призмы. В правильной призме боковые ребра параллельны друг другу. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. Поскольку боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, то расстояние между $AA_1$ и $DD_1$ равно расстоянию между точками $A$ и $D$ в плоскости основания. Основание призмы - правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Отрезок $AD$ является большой (главной) диагональю правильного шестиугольника, которая проходит через его центр. Длина такой диагонали равна удвоенной длине стороны шестиугольника.

$AD = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, расстояние между прямыми $AA_1$ и $DD_1$ равно $2$.

Ответ: $2$

14.4. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 14.10). Найдите расстояние между прямыми:

а) $AB$ и $C_1D_1$

б) $AB$ и $C_2D_2$

в) $AA_2$ и $CC_1$

г) $AA_2$ и $D_1C_2$

Дано:

Многогранник, изображенный на рис. 14.10, состоит из двух прямоугольных параллелепипедов. Размеры сторон указаны на рисунке в условных единицах длины. Определим координаты ключевых вершин, приняв точку A за начало координат (0,0,0): A = (0,0,0), B = (2,0,0), C = (2,2,0), D = (0,2,0), A₁ = (0,0,1), B₁ = (2,0,1), C₁ = (2,2,1), D₁ = (0,2,1), A₂ = (0,0,2), B₂ = (1,0,2), C₂ = (1,1,2), D₂ = (0,1,2).

Найти:

Расстояние между следующими парами прямых: а) AB и C₁D₁; б) AB и C₂D₂; в) AA₂ и CC₁; г) AA₂ и D₁C₂.

Решение:

Для нахождения расстояний между прямыми будем использовать формулы для параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.

а) AB и C₁D₁

Прямая AB проходит через точки A(0,0,0) и B(2,0,0). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AB} = (1,0,0)$.

Прямая C₁D₁ проходит через точки D₁(0,2,1) и C₁(2,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_1D_1} = (1,0,0)$.

Поскольку направляющие векторы параллельны, прямые AB и C₁D₁ также параллельны. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки на одной прямой до другой прямой.

Возьмем точку $P_1 = A(0,0,0)$ на прямой AB. Направляющий вектор $\vec{v} = (1,0,0)$. Возьмем точку $P_2 = D_1(0,2,1)$ на прямой C₁D₁.

Вектор $P_2 - P_1 = (0,2,1) - (0,0,0) = (0,2,1)$.

Расстояние $d = \frac{|(P_2 - P_1) \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$.

$(P_2 - P_1) \times \vec{v} = (0,2,1) \times (1,0,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = (0, 1, -2)$.

$|(P_2 - P_1) \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 4} = \sqrt{5}$.

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

$d = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

б) AB и C₂D₂

Прямая AB: $P_1 = A(0,0,0)$, $\vec{v}_{AB} = (1,0,0)$.

Прямая C₂D₂ проходит через точки D₂(0,1,2) и C₂(1,1,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{C_2D_2} = (1,0,0)$.

Прямые AB и C₂D₂ параллельны.

Возьмем точку $P_2 = D_2(0,1,2)$ на прямой C₂D₂.

Вектор $P_2 - P_1 = (0,1,2) - (0,0,0) = (0,1,2)$.

$(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AB} = (0,1,2) \times (1,0,0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = (0, 2, -1)$.

$|(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AB}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$.

$|\vec{v}_{AB}| = 1$.

$d = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

в) AA₂ и CC₁

Прямая AA₂ проходит через точки A(0,0,0) и A₂(0,0,2). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{AA_2} = (0,0,1)$. Возьмем $P_1 = A(0,0,0)$.

Прямая CC₁ проходит через точки C(2,2,0) и C₁(2,2,1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_{CC_1} = (0,0,1)$. Возьмем $P_2 = C(2,2,0)$.

Прямые AA₂ и CC₁ параллельны.

Вектор $P_2 - P_1 = (2,2,0) - (0,0,0) = (2,2,0)$.

$(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AA_2} = (2,2,0) \times (0,0,1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(2 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (2, -2, 0)$.

$|(P_2 - P_1) \times \vec{v}_{AA_2}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4 + 0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

$|\vec{v}_{AA_2}| = 1$.

$d = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $2\sqrt{2}$

г) AA₂ и D₁C₂

Прямая AA₂: $P_1 = A(0,0,0)$, $\vec{v}_1 = (0,0,1)$.

Прямая D₁C₂ проходит через точки D₁(0,2,1) и C₂(1,1,2). Возьмем $P_2 = D_1(0,2,1)$.

Направляющий вектор $\vec{v}_2 = C_2 - D_1 = (1-0, 1-2, 2-1) = (1,-1,1)$.

Так как $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ не коллинеарны, прямые скрещивающиеся. Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле $d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}$.

Вектор $P_2 - P_1 = (0,2,1) - (0,0,0) = (0,2,1)$.

Векторное произведение $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = (0,0,1) \times (1,-1,1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) = (1, 1, 0)$.

Модуль векторного произведения $|(\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

Смешанное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2) = (0,2,1) \cdot (1,1,0) = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 0 + 2 + 0 = 2$.

Расстояние $d = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$