Страница 80 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13.5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между:
а) прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$;
б) прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$.

13.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1 \text{ ед.}$.

Найти:

а) Расстояние между прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$.

б) Расстояние между прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

а) прямой $BB_1$ и плоскостью $ACC_1$

Прямая $BB_1$ проходит через точки $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$.Плоскость $ACC_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$ и $C_1(1,1,1)$.

1. Докажем, что прямая $BB_1$ параллельна плоскости $ACC_1$.Прямая $BB_1$ параллельна прямой $AA_1$ (как вертикальные ребра куба).Прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$ (что является той же плоскостью $ACC_1$).Если прямая параллельна прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Таким образом, $BB_1 \parallel \text{плоскости } ACC_1$.

2. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Выберем точку $B(1,0,0)$ на прямой $BB_1$.

3. Найдем уравнение плоскости $ACC_1$.Векторы, лежащие в плоскости:$\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$$\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ACC_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AC_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = (1, -1, 0)$.Уравнение плоскости $ACC_1$ имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя нормальный вектор $(1,-1,0)$ и точку $A(0,0,0)$:$1(x-0) - 1(y-0) + 0(z-0) = 0$$x - y = 0$.

4. Найдем расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости $x-y=0$.Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ это $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.В нашем случае, $(x_0,y_0,z_0) = (1,0,0)$, а плоскость $1x-1y+0z+0=0$.$d = \frac{|1(1) - 1(0) + 0(0) + 0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}} = \frac{|1|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

б) прямой $AB$ и плоскостью $CDA_1$

Прямая $AB$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$.Плоскость $CDA_1$ проходит через точки $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$.

1. Докажем, что прямая $AB$ параллельна плоскости $CDA_1$.Прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ (как противоположные стороны квадрата $ABCD$).Прямая $CD$ лежит в плоскости $CDA_1$.Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $CDA_1$.

2. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Выберем точку $A(0,0,0)$ на прямой $AB$.

3. Найдем уравнение плоскости $CDA_1$.Векторы, лежащие в плоскости:$\vec{DC} = C - D = (1-0, 1-1, 0-0) = (1,0,0)$$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $CDA_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{DC} \times \vec{DA_1}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) = (0, -1, -1)$.Уравнение плоскости $CDA_1$ имеет вид $Ax+By+Cz+D'=0$. Используя нормальный вектор $(0,-1,-1)$ и точку $D(0,1,0)$:$0(x-0) - 1(y-1) - 1(z-0) = 0$$-y+1-z = 0$$y+z-1 = 0$.

4. Найдем расстояние от точки $A(0,0,0)$ до плоскости $y+z-1=0$.В нашем случае, $(x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)$, а плоскость $0x+1y+1z-1=0$.$d = \frac{|0(0) + 1(0) + 1(0) - 1|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{2} $

13.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Найдите расстояние между плоскостями:

a) $ABB_1$ и $DEE_1$;

б) $ABB_1$ и $CFF_1$;

в) $ACC_1$ и $FDD_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:
а) Расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $DEE_1$.
б) Расстояние между плоскостями $ABB_1$ и $CFF_1$.
в) Расстояние между плоскостями $ACC_1$ и $FDD_1$.

Решение
Поскольку призма правильная, ее боковые грани перпендикулярны основаниям. Все боковые ребра параллельны друг другу ($AA_1 \parallel BB_1 \parallel \dots$) и перпендикулярны плоскостям оснований. Расстояние между двумя такими плоскостями, проходящими через боковые ребра, равно расстоянию между соответствующими прямыми, являющимися следами этих плоскостей в плоскости основания. Для вычисления расстояний воспользуемся координатным методом. Поместим центр нижнего основания призмы (шестиугольника $ABCDEF$) в начало координат $(0,0,0)$. Высота призмы $h=1$. Длина стороны шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника в основании (на плоскости $z=0$) с центром в начале координат и стороной $a=1$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

а) ABB_1 и DEE_1

Плоскость $ABB_1$ проходит через прямую $AB$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $AB$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $A(1, 0)$ и $B(1/2, \sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{AB} = \frac{\sqrt{3}/2 - 0}{1/2 - 1} = \frac{\sqrt{3}/2}{-1/2} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\sqrt{3}(x - 1) \implies y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3} \implies \sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $ABB_1$ есть $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.

Плоскость $DEE_1$ проходит через прямую $DE$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $DE$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $D(-1, 0)$ и $E(-1/2, -\sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{DE} = \frac{-\sqrt{3}/2 - 0}{-1/2 - (-1)} = \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\sqrt{3}(x - (-1)) \implies y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3} \implies \sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $DEE_1$ есть $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$.

Плоскости $ABB_1$ и $DEE_1$ параллельны, так как их нормальные векторы $(\sqrt{3}, 1, 0)$ коллинеарны.
Расстояние между параллельными плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ вычисляется по формуле $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.
$d = \frac{|-\sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2+0^2}} = \frac{|-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Альтернативно, эти плоскости содержат противолежащие боковые грани. Расстояние между ними равно расстоянию между противолежащими сторонами правильного шестиугольника в основании, которое равно удвоенной апофеме $2 \cdot a \frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. При $a=1$, расстояние равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) ABB_1 и CFF_1

Плоскость $ABB_1$ имеет уравнение $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$, полученное в пункте а).

Плоскость $CFF_1$ проходит через прямую $CF$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $CF$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{CF} = \frac{-\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2}{1/2 - (-1/2)} = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$.
Уравнение прямой: $y - \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}(x - (-1/2)) \implies y - \sqrt{3}/2 = -\sqrt{3}x - \sqrt{3}/2 \implies \sqrt{3}x + y = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $CFF_1$ есть $\sqrt{3}x + y = 0$.

Плоскости $ABB_1$ и $CFF_1$ параллельны, так как их нормальные векторы $(\sqrt{3}, 1, 0)$ коллинеарны.
Расстояние между ними:
$d = \frac{|-\sqrt{3} - 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2+0^2}} = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) ACC_1 и FDD_1

Плоскость $ACC_1$ проходит через прямую $AC$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $AC$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $A(1, 0)$ и $C(-1/2, \sqrt{3}/2)$.
Наклон $m_{AC} = \frac{\sqrt{3}/2 - 0}{-1/2 - 1} = \frac{\sqrt{3}/2}{-3/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1) \implies \sqrt{3}y = -x + 1 \implies x + \sqrt{3}y - 1 = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $ACC_1$ есть $x + \sqrt{3}y - 1 = 0$.

Плоскость $FDD_1$ проходит через прямую $FD$ (след плоскости в основании) и параллельна оси $Oz$.
Уравнение прямой $FD$ в плоскости $Oxy$:
Используем точки $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$ и $D(-1, 0)$.
Наклон $m_{FD} = \frac{0 - (-\sqrt{3}/2)}{-1 - 1/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{-3/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Уравнение прямой: $y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1)) \implies \sqrt{3}y = -x - 1 \implies x + \sqrt{3}y + 1 = 0$.
Следовательно, уравнение плоскости $FDD_1$ есть $x + \sqrt{3}y + 1 = 0$.

Плоскости $ACC_1$ и $FDD_1$ параллельны, так как их нормальные векторы $(1, \sqrt{3}, 0)$ коллинеарны.
Расстояние между ними:
$d = \frac{|-1 - 1|}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2+0^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1+3}} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: $1$

13.7. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ (рис. 13.11), все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $SAD$.

Рис. 13.11

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная. Все ребра равны 1. $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$ (условные единицы длины).

Перевод всех данных в систему СИ:

Поскольку в задаче не указаны единицы измерения, принимаем условные единицы длины (например, метры). $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$ м.

Найти:

Расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $SAD$.

Решение:

1. Поскольку пирамида $SABCD$ правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом. Все ребра равны 1, значит, $AB = BC = CD = DA = 1$.

2. Прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ (стороны квадрата).

3. Прямая $AD$ лежит в плоскости $SAD$.

4. Из пунктов 2 и 3 следует, что прямая $BC$ параллельна плоскости $SAD$.

5. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на этой прямой до плоскости. Выберем точку $N$ - середину отрезка $BC$. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки $N$ до плоскости $SAD$.

6. Пусть $M$ - середина отрезка $AD$.

7. В основании $ABCD$ отрезок $MN$ соединяет середины параллельных сторон квадрата, поэтому $MN \perp AD$ и $MN = AB = 1$.

8. Треугольник $SAD$ является равносторонним, так как $SA = SD = AD = 1$.

9. В равностороннем треугольнике $SAD$ медиана $SM$ является также высотой, поэтому $SM \perp AD$. Длина $SM$ (высота равностороннего треугольника со стороной 1) равна $SM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

10. Поскольку $MN \perp AD$ и $SM \perp AD$, то прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $SMN$. Следовательно, плоскость $SAD$ перпендикулярна плоскости $SMN$.

11. Искомое расстояние от точки $N$ до плоскости $SAD$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на линию пересечения плоскостей $SAD$ и $SMN$. Линия пересечения - это $SM$.

12. Рассмотрим треугольник $SMN$. Его стороны: $MN = 1$. $SM = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $SN$ является высотой равностороннего треугольника $SBC$ (так как все его стороны равны 1), опущенной из $S$ на $BC$, где $N$ - середина $BC$. Поэтому $SN = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $\triangle SMN$ - равнобедренный с $SM = SN = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и основанием $MN=1$.

13. Пусть $O$ - центр основания пирамиды. $O$ является серединой отрезка $MN$.

14. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. В $\triangle SOM$ (прямоугольном) имеем $OM = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2}$. По теореме Пифагора: $SO^2 + OM^2 = SM^2$ $SO^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ $SO^2 + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $SO^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $SO = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

15. Площадь треугольника $SMN$ может быть найдена как $S_{SMN} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot SO$: $S_{SMN} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

16. Искомое расстояние $h_N$ от точки $N$ до прямой $SM$ является высотой $\triangle SMN$, опущенной из вершины $N$ на сторону $SM$. Эту же площадь можно выразить как $S_{SMN} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot h_N$. Приравниваем выражения для площади: $\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot h_N$ $\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} h_N$ $h_N = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ $h_N = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямой $BC$ и плоскостью $SAD$ равно $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

13.8. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ (рис. 13.12), стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние между прямой $CD$ и плоскостью $SAF$.

Рис. 13.12

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Все величины уже представлены в безразмерных единицах, соответствующих системе СИ (например, метры, если речь идет о физических размерах).

Найти:

Расстояние между прямой $CD$ и плоскостью $SAF$.

Решение:

1. Определим взаимное расположение прямой $CD$ и плоскости $SAF$. В правильном шестиугольнике сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Поскольку прямая $AF$ лежит в плоскости $SAF$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $SAF$.

2. Расстояние между параллельной прямой и плоскостью равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости. Возьмем середину стороны $CD$, обозначим ее $N$. Необходимо найти расстояние от точки $N$ до плоскости $SAF$.

3. Пусть $O$ — центр основания пирамиды. $S$ — вершина пирамиды. В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания.

4. Найдем высоту пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ (где $A$ — вершина основания), $OA$ — радиус описанной окружности для правильного шестиугольника, который равен стороне основания $a$. То есть, $OA = a = 1$.

По теореме Пифагора:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

$SO^2 = l^2 - a^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

5. Найдем расстояние от центра основания $O$ до середины стороны $AF$ (апофема основания). Пусть $M$ — середина $AF$. Для правильного шестиугольника апофема $OM$ вычисляется по формуле:

$OM = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку $N$ — середина $CD$, то $ON = OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точки $M, O, N$ лежат на одной прямой, перпендикулярной $AF$ и $CD$. Длина отрезка $MN = OM + ON = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

6. Рассмотрим плоскость $SOMN$ (или просто $SMN$, поскольку $O$ лежит на $MN$). Эта плоскость проходит через высоту пирамиды $SO$ и перпендикулярна стороне $AF$ (так как $OM \perp AF$ и $SO \perp \text{плоскости основания}$).

7. Поскольку плоскость $SOMN$ содержит прямую $SO$, перпендикулярную плоскости основания, и прямую $OM$, перпендикулярную $AF$, то плоскость $SOMN$ перпендикулярна прямой $AF$. Так как прямая $AF$ лежит в плоскости $SAF$, то плоскость $SOMN$ перпендикулярна плоскости $SAF$.

8. Линия пересечения плоскостей $SOMN$ и $SAF$ — это прямая $SM$.

9. Поскольку точка $N$ лежит в плоскости $SOMN$, а плоскость $SOMN$ перпендикулярна плоскости $SAF$, то расстояние от точки $N$ до плоскости $SAF$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $N$ на прямую $SM$ (линию пересечения плоскостей) в плоскости $SOMN$.

10. Рассмотрим треугольник $SMN$. Это равнобедренный треугольник, так как $SM = SN$ (поскольку $OM = ON$ и $SO$ — общая высота). Найдем $SM$ (высота боковой грани $SAF$):

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{3 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12+3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Также $SN = \frac{\sqrt{15}}{2}$. Основание $MN = \sqrt{3}$.

11. Площадь треугольника $SMN$ можно найти двумя способами. Первый способ, используя $MN$ как основание и $SO$ как высоту (так как $SO \perp MN$):

$S_{\triangle SMN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2}$

12. Второй способ, используя $SM$ как основание и искомую высоту $h$ (расстояние от $N$ до $SM$):

$S_{\triangle SMN} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} \cdot h = \frac{\sqrt{15}}{4} h$

13. Приравниваем площади:

$\frac{3}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4} h$

$h = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель:

$h = \frac{6\sqrt{15}}{15} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

Ответ:

Расстояние между прямой $CD$ и плоскостью $SAF$ равно $\frac{2\sqrt{15}}{5}$.

13.9. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $DC_1A$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Две плоскости: $ACB_1$ и $DC_1A_1$.

Найти:

Расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $DC_1A_1$.

Решение:

Зададим систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна $1$. Координаты вершин куба будут:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем уравнение плоскости $ACB_1$. Для этого нам нужны три точки, лежащие в этой плоскости: $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

Нормальный вектор $\vec{n_1}$ к плоскости $ACB_1$ найдем как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\mathbf{k} = (1, -1, -1)$

Уравнение плоскости $ACB_1$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты нормального вектора: $1x - 1y - 1z + D_1 = 0$.

Так как точка $A(0,0,0)$ лежит в этой плоскости, подставим ее координаты для нахождения $D_1$:

$1(0) - 1(0) - 1(0) + D_1 = 0 \Rightarrow D_1 = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $ACB_1$ есть $x - y - z = 0$.

Теперь найдем уравнение плоскости $DC_1A_1$. Точки, лежащие в плоскости: $D(0,1,0)$, $C_1(1,1,1)$, $A_1(0,0,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (1-0, 1-1, 1-0) = (1,0,1)$

Нормальный вектор $\vec{n_2}$ к плоскости $DC_1A_1$ найдем как векторное произведение $\vec{DA_1} \times \vec{DC_1}$:

$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\mathbf{i} - (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\mathbf{j} + (0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1)\mathbf{k} = (-1, 1, 1)$

Уравнение плоскости $DC_1A_1$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты нормального вектора: $-1x + 1y + 1z + D_2 = 0$.

Так как точка $A_1(0,0,1)$ лежит в этой плоскости, подставим ее координаты для нахождения $D_2$:

$-1(0) + 1(0) + 1(1) + D_2 = 0 \Rightarrow 1 + D_2 = 0 \Rightarrow D_2 = -1$.

Таким образом, уравнение плоскости $DC_1A_1$ есть $-x + y + z - 1 = 0$, что эквивалентно $x - y - z + 1 = 0$.

Сравним нормальные векторы плоскостей: $\vec{n_1} = (1, -1, -1)$ и $\vec{n_2} = (-1, 1, 1)$.

Так как $\vec{n_2} = -\vec{n_1}$, нормальные векторы коллинеарны, следовательно, плоскости $ACB_1$ и $DC_1A_1$ параллельны.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ и $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для плоскости $ACB_1$: $x - y - z = 0$, имеем $A=1, B=-1, C=-1, D_1=0$.

Для плоскости $DC_1A_1$: $x - y - z + 1 = 0$, имеем $A=1, B=-1, C=-1, D_2=1$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{|0 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $DC_1A_1$ составляет $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

13.10. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$. Найдите расстояние между прямой $OB_1$ и плоскостью $DA_1C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a=1$.

Точка $O$ — точка пересечения диагоналей грани $ABCD$.

Найти:

Расстояние между прямой $OB_1$ и плоскостью $DA_1C_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $A=(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Координаты вершин куба (для $a=1$):

• $A=(0,0,0)$

• $B=(1,0,0)$

• $C=(1,1,0)$

• $D=(0,1,0)$

• $A_1=(0,0,1)$

• $B_1=(1,0,1)$

• $C_1=(1,1,1)$

• $D_1=(0,1,1)$

Найдем координаты точки $O$. Точка $O$ является центром грани $ABCD$, то есть серединой диагонали $AC$.

$O = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$.

Для прямой $OB_1$ нам необходим вектор направления. Вектор $\vec{OB_1}$ будет направляющим вектором этой прямой.

$\vec{OB_1} = B_1 - O = \left(1-\frac{1}{2}, 0-\frac{1}{2}, 1-0\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1\right)$.

Для удобства дальнейших вычислений можем использовать сонаправленный вектор $\vec{l} = (1, -1, 2)$.

Для плоскости $DA_1C_1$ нам необходим нормальный вектор и уравнение плоскости. Плоскость проходит через точки $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$

• $\vec{DC_1} = C_1 - D = (1-0, 1-1, 1-0) = (1, 0, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $DA_1C_1$ найдем как векторное произведение $\vec{DA_1}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{n} = \vec{DA_1} \times \vec{DC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, 1, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя нормальный вектор $\vec{n}=(-1,1,1)$ и одну из точек плоскости, например $D=(0,1,0)$:

$-1(x-0) + 1(y-1) + 1(z-0) = 0$

$-x + y - 1 + z = 0$

$-x + y + z - 1 = 0$.

Проверим, параллельна ли прямая $OB_1$ плоскости $DA_1C_1$. Прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор ортогонален нормальному вектору плоскости, то есть их скалярное произведение равно нулю.

$\vec{l} \cdot \vec{n} = (1, -1, 2) \cdot (-1, 1, 1) = (1)(-1) + (-1)(1) + (2)(1) = -1 - 1 + 2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, прямая $OB_1$ параллельна плоскости $DA_1C_1$.

Расстояние между параллельной прямой и плоскостью равно расстоянию от любой точки на прямой до этой плоскости. Возьмем точку $O = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ на прямой $OB_1$.

Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Для плоскости $-x + y + z - 1 = 0$ имеем $A=-1, B=1, C=1, D=-1$.

Для точки $O(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ имеем $x_0=\frac{1}{2}, y_0=\frac{1}{2}, z_0=0$.

$d = \frac{\left|(-1)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)\left(\frac{1}{2}\right) + (1)(0) + (-1)\right|}{\sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (1)^2}}$

$d = \frac{\left|-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0 - 1\right|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

13.11. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$ все ребра равны 1.

Найдите расстояние между прямой $AB$ и плоскостью $CA_1 B_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние между прямой $AB$ и плоскостью $CA_1 B_1$.

Решение:

1. Определим положение прямой $AB$ относительно плоскости $CA_1 B_1$. Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1 B_1$, так как они являются соответствующими сторонами оснований правильной призмы. Прямая $A_1 B_1$ лежит в плоскости $CA_1 B_1$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $CA_1 B_1$.

2. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки на этой прямой до этой плоскости. Для удобства выберем середину $M$ ребра $AB$ в качестве точки, от которой будем искать расстояние.

3. Введем систему координат. Разместим начало координат в точке $M$. Ось $Ox$ направим вдоль $MB$, ось $Oy$ вдоль $MC$ (медианы равностороннего треугольника $ABC$), а ось $Oz$ вдоль $MM_1$ (где $M_1$ - середина $A_1 B_1$).

4. Вычислим координаты ключевых точек:

• $M = (0, 0, 0)$
• $A = (-\frac{1}{2}, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, 0, 0)$
• Так как $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной 1, высота $CM$ равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $C = (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• Так как $AA_1 = 1$ и $AA_1 \perp$ плоскости основания, то $A_1 = (-\frac{1}{2}, 0, 1)$, $B_1 = (\frac{1}{2}, 0, 1)$.

5. Найдем уравнение плоскости $CA_1 B_1$. Для этого нам нужны три точки, лежащие в плоскости: $C(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $A_1(-\frac{1}{2}, 0, 1)$, $B_1(\frac{1}{2}, 0, 1)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{CA_1} = A_1 - C = (-\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (\frac{1}{2} - 0, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости, взяв векторное произведение $\vec{CA_1} \times \vec{CB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} ((-\frac{\sqrt{3}}{2})(1) - (1)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j} ((-\frac{1}{2})(1) - (1)(\frac{1}{2})) + \mathbf{k} ((-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (0, 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения умножим вектор нормали на 2: $\vec{n} = (0, 2, \sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты вектора нормали, получаем $0 \cdot x + 2 \cdot y + \sqrt{3} \cdot z + D = 0$, или $2y + \sqrt{3}z + D = 0$.

Подставим координаты точки $C(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D$:

$2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(0) + D = 0$

$\sqrt{3} + D = 0 \Rightarrow D = -\sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $CA_1 B_1$ есть $2y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

6. Вычислим расстояние от точки $M(0,0,0)$ до плоскости $2y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$ по формуле расстояния от точки до плоскости $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$:

$d = \frac{|0 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{0 + 4 + 3}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

13.12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 13.9). Найдите расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $ED_1 F_1$.

Рис. 13.9

Дано
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.
Высота призмы $h = 1$.

Перевод в СИ: все данные представлены в безразмерных единицах. Если предположить, что единицы измерения длины - метры, то $a=1 \text{ м}$ и $h=1 \text{ м}$.

Найти:
Расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $ED_1F_1$.

Решение
Для решения задачи используем координатный метод. Разместим центр нижнего основания призмы $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль оси призмы. Вершины нижнего основания $ABCDEF$ правильной шестиугольной призмы со стороной $a=1$ в плоскости $Oxy$ будут иметь следующие координаты:

$A = (1, 0, 0)$
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Так как высота призмы $h=1$ (все ребра равны 1), координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут:

$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $ACB_1$. Для этого нам нужны три точки, лежащие в плоскости: $A(1,0,0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$. Составим два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_1}$ к плоскости $ACB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{n_1} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n_1} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-3/2 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-3/2 \cdot \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2 \cdot (-1/2))$
$\vec{n_1} = (\sqrt{3}/2, 3/2, -\sqrt{3}/2)$

Для удобства вычислений, можем использовать пропорциональный вектор нормали, умножив все компоненты на 2: $\vec{n_1}' = (\sqrt{3}, 3, -\sqrt{3})$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя $\vec{n_1}'$, получим: $\sqrt{3}x + 3y - \sqrt{3}z + D_1 = 0$. Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ в уравнение для нахождения $D_1$: $\sqrt{3}(1) + 3(0) - \sqrt{3}(0) + D_1 = 0 \implies \sqrt{3} + D_1 = 0 \implies D_1 = -\sqrt{3}$. Уравнение плоскости $ACB_1$: $\sqrt{3}x + 3y - \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$. Разделим все коэффициенты на $\sqrt{3}$ для получения более простого вида: $x + \sqrt{3}y - z - 1 = 0$.

Далее найдем уравнение плоскости $ED_1F_1$. Используем точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $D_1(-1, 0, 1)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$. Составим два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{ED_1} = D_1 - E = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$\vec{EF_1} = F_1 - E = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (1, 0, 1)$

Вектор нормали $\vec{n_2}$ к плоскости $ED_1F_1$:

$\vec{n_2} = \vec{ED_1} \times \vec{EF_1} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n_2} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(-1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(-1/2 \cdot 0 - \sqrt{3}/2 \cdot 1)$
$\vec{n_2} = (\sqrt{3}/2, 3/2, -\sqrt{3}/2)$

Заметим, что векторы нормали $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ равны, что подтверждает параллельность плоскостей $ACB_1$ и $ED_1F_1$. Используем тот же упрощенный нормальный вектор $(1, \sqrt{3}, -1)$ (полученный делением $\vec{n_2}$ на $\sqrt{3}/2$) для плоскости $ED_1F_1$. Уравнение плоскости $ED_1F_1$: $x + \sqrt{3}y - z + D_2 = 0$. Подставим координаты точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ в уравнение для нахождения $D_2$: $(-1/2) + \sqrt{3}(-\sqrt{3}/2) - (0) + D_2 = 0$
$-1/2 - 3/2 + D_2 = 0$
$-2 + D_2 = 0 \implies D_2 = 2$. Уравнение плоскости $ED_1F_1$: $x + \sqrt{3}y - z + 2 = 0$.

Теперь, когда у нас есть уравнения двух параллельных плоскостей $x + \sqrt{3}y - z - 1 = 0$ и $x + \sqrt{3}y - z + 2 = 0$, мы можем найти расстояние между ними по формуле: $d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Здесь $A=1$, $B=\sqrt{3}$, $C=-1$. Для первой плоскости $D_1 = -1$, для второй $D_2 = 2$.

$d = \frac{|-1 - 2|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-1)^2}}$
$d = \frac{|-3|}{\sqrt{1 + 3 + 1}}$
$d = \frac{3}{\sqrt{5}}$
Для удаления иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ:
Расстояние между плоскостями $ACB_1$ и $ED_1F_1$ равно $\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

13.13. Попробуйте определить понятие расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.

Решение

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми (то есть прямыми, которые не параллельны и не пересекаются, находясь в разных плоскостях) определяется как длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр — это единственный отрезок, который перпендикулярен обеим прямым, и концы которого лежат на этих прямых.

Альтернативное определение гласит, что расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от любой точки одной прямой (например, $P \in L_1$) до плоскости $\alpha$, которая содержит вторую прямую ($L_2$) и параллельна первой прямой ($L_1$). Это расстояние может быть вычислено по формуле: $d(L_1, L_2) = \frac{|(\vec{M_1M_2}, \vec{u_1}, \vec{u_2})|}{|\vec{u_1} \times \vec{u_2}|}$, где $\vec{M_1M_2}$ — вектор, соединяющий точки $M_1 \in L_1$ и $M_2 \in L_2$, а $\vec{u_1}$ и $\vec{u_2}$ — направляющие векторы прямых $L_1$ и $L_2$ соответственно.

Ответ:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина отрезка их общего перпендикуляра.

13.14. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Куб единичный, следовательно, длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$.

Решение:

Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися прямыми, так как они не параллельны (прямая $AB$ параллельна $A_1B_1$, а прямая $B_1C_1$ параллельна $BC$) и не пересекаются (прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABCD$, а прямая $B_1C_1$ в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$).

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Рассмотрим отрезок $BB_1$. Этот отрезок является ребром куба.

Прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$, так как это ребро является высотой куба. Следовательно, прямая $BB_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AB$.

Аналогично, прямая $BB_1$ перпендикулярна плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, прямая $BB_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $B_1C_1$.

Таким образом, отрезок $BB_1$ является общим перпендикуляром для прямых $AB$ и $B_1C_1$.

Длина отрезка $BB_1$ равна длине ребра куба. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

Следовательно, расстояние между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равно $1$.

Ответ: $1$