Страница 74 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость?

2. Что называется расстоянием от точки до плоскости?

1. Что называется перпендикуляром, опущенным из точки на плоскость? Перпендикуляром, опущенным из данной точки на плоскость, называется отрезок, соединяющий эту точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной к этой плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Ответ:

2. Что называется расстоянием от точки до плоскости? Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. Ответ:

12.1. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1 B_1 C_1 D_1$.

$AB = 5, AD = 4, AA_1 = 3$.

Найдите диагональ $AC_1$.

Дано:

прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 5$

$AD = 4$

$AA_1 = 3$

Перевод в СИ:

Данные приведены без указания единиц измерения, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Диагональ $AC_1$

Решение:

Для нахождения диагонали $AC_1$ прямоугольного параллелепипеда можно использовать обобщенную теорему Пифагора. Диагональ $d$ прямоугольного параллелепипеда, имеющего измерения $l$, $w$ и $h$, находится по формуле: $d = \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$.

В нашем случае измерения параллелепипеда следующие:

• длина $l = AB = 5$
• ширина $w = AD = 4$
• высота $h = AA_1 = 3$

Подставим эти значения в формулу для диагонали $AC_1$:

$AC_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2}$

$AC_1 = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2}$

$AC_1 = \sqrt{25 + 16 + 9}$

$AC_1 = \sqrt{50}$

$AC_1 = \sqrt{25 \cdot 2}$

$AC_1 = 5\sqrt{2}$

Ответ: $5\sqrt{2}$

12.2. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ (рис. 12.7) найдите расстояние от вершины А до плоскости:

а) $BCC_1$

б) $BCD_1$

Рис. 12.7

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти

Расстояние от вершины A до плоскостей:

a) $BCC_1$

б) $BCD_1$

Решение

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке A. Пусть ребро AB лежит вдоль оси Ox, ребро AD вдоль оси Oy, а ребро $AA_1$ вдоль оси Oz. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

Тогда координаты вершин куба будут:

A = (0,0,0)

B = (1,0,0)

C = (1,1,0)

D = (0,1,0)

$A_1$ = (0,0,1)

$B_1$ = (1,0,1)

$C_1$ = (1,1,1)

$D_1$ = (0,1,1)

а) Расстояние от вершины A до плоскости BCC₁

Плоскость $BCC_1$ является боковой гранью куба, перпендикулярной оси Ox. Эта плоскость проходит через точки B(1,0,0), C(1,1,0), $C_1$(1,1,1) и $B_1$(1,0,1). Все точки этой грани имеют координату $x = 1$. Следовательно, уравнение плоскости $BCC_1$ есть $x = 1$, что можно записать как $x - 1 = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки A(0,0,0) и плоскости $x - 1 = 0$ (где $A=1, B=0, C=0, D=-1$), подставим значения:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}}$

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$

Или, более интуитивно, плоскость $BCC_1$ — это грань куба, смежная с вершиной A. Расстояние от вершины куба до примыкающей к ней грани, перпендикулярной ребру, исходящему из этой вершины и лежащему на этой грани, равно длине ребра куба. В данном случае, ребро AB перпендикулярно плоскости $BCC_1$, и его длина равна 1. Следовательно, расстояние от A до плоскости $BCC_1$ равно 1.

Ответ: $1$

б) Расстояние от вершины A до плоскости BCD₁

Плоскость $BCD_1$ проходит через точки B(1,0,0), C(1,1,0) и $D_1$(0,1,1).

Для определения уравнения плоскости $BCD_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{CB} = B - C = (1-1, 0-1, 0-0) = (0, -1, 0)$

$\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-1))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-1) = (-1, 0, -1)$

Для удобства вычислений можно взять вектор нормали, умноженный на -1, то есть $\vec{n} = (1, 0, 1)$.

Используем общую формулу уравнения плоскости $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$, где $(x_0,y_0,z_0)$ - точка на плоскости (например, B(1,0,0)), а $(A,B,C)$ - вектор нормали (1,0,1):

$1(x-1) + 0(y-0) + 1(z-0) = 0$}

$x - 1 + z = 0$}

$x + z - 1 = 0$

Теперь найдем расстояние от точки A(0,0,0) до плоскости $x + z - 1 = 0$. Используем ту же формулу расстояния, где $A=1, B=0, C=1, D=-1$ и $(x_0, y_0, z_0) = (0,0,0)$:

$d = \frac{|1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 0 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это значение можно также рационализировать знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$

12.3. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды SABCD (рис. 12.3), все ребра которой равны 1.

Рис. 12.3

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длины всех ребер равны 1.

Найти:

Высота пирамиды $SO$.

Решение:

Поскольку пирамида $SABCD$ правильная четырехугольная, ее основанием является квадрат $ABCD$, и вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Высота пирамиды - это отрезок $SO$.

Длина каждого ребра пирамиды равна 1. Следовательно, длина стороны основания $AB = 1$, и длина бокового ребра $SA = 1$.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ со стороной $AB=1$. Диагональ $AC$ квадрата может быть найдена по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2$

$AC^2 = 1 + 1$

$AC^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Центр основания $O$ является точкой пересечения диагоналей, поэтому $AO$ - это половина диагонали $AC$:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Гипотенуза этого треугольника - боковое ребро $SA$, которое по условию равно 1. Катеты - это высота $SO$ и половина диагонали основания $AO$. Применим теорему Пифагора к треугольнику $SOA$:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

Подставим известные значения:

$1^2 = SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$1 = SO^2 + \frac{2}{4}$

$1 = SO^2 + \frac{1}{2}$

Выразим $SO^2$:

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$SO^2 = \frac{1}{2}$

Найдем $SO$:

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}}$

$SO = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$SO = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

12.4. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины A до плоскости:
а) $BDD_1$;
б) $BEE_1$;
в) $BFF_1$;
г) $BCC_1$;
д) $CDD_1$;
е) $CEE_1$;
ж) $CFF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Вершина, от которой измеряется расстояние: $A$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица).

Найти:

Расстояние от вершины $A$ до каждой из плоскостей: а) $BDD_1$; б) $BEE_1$; в) $BFF_1$; г) $BCC_1$; д) $CDD_1$; е) $CEE_1$; ж) $CFF_1$.

Решение:

Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку все ребра равны 1, то длина стороны правильного шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате соответствующих вершин нижнего основания. Например, $D_1 = (-1, 0, 1)$.

Все перечисленные плоскости являются вертикальными (содержат вертикальное ребро призмы). Поэтому расстояние от вершины $A$ до такой плоскости равно расстоянию от вершины $A$ (в плоскости $z=0$) до прямой пересечения этой плоскости с плоскостью основания $ABCDEF$.

а) BDD_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BDD_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BD$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $D(-1,0)$.

Угловой коэффициент прямой $BD$: $m_{BD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Уравнение прямой $BD$: $y - 0 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1)) \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Преобразуем к виду $Ax + By + C = 0$: $\sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - 3y + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 3(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2}} = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 9}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{12}} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1$.

Ответ: $1$

б) BEE_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BEE_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BE$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $BE$ проходит через начало координат $(0,0)$.

Угловой коэффициент прямой $BE$: $m_{BE} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Уравнение прямой $BE$: $y = \sqrt{3}x \Rightarrow \sqrt{3}x - y = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - y = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) BFF_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BFF_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BF$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $BF$ является вертикальной прямой, проходящей через $x = \frac{1}{2}$.

Уравнение прямой $BF$: $x - \frac{1}{2} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x - \frac{1}{2} = 0$:

$d = \frac{|1 - \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{1}{2}|}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) BCC_1

Расстояние от $A$ до плоскости $BCC_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $BC$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $BC$ является горизонтальной прямой, проходящей через $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Уравнение прямой $BC$: $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$:

$d = \frac{|0 - \frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2}|}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

д) CDD_1

Расстояние от $A$ до плоскости $CDD_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $CD$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $D(-1,0)$.

Угловой коэффициент прямой $CD$: $m_{CD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

Уравнение прямой $CD$: $y - 0 = \sqrt{3}(x - (-1)) \Rightarrow y = \sqrt{3}x + \sqrt{3}$.

Преобразуем к виду $Ax + By + C = 0$: $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3} = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) - 0 + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

е) CEE_1

Расстояние от $A$ до плоскости $CEE_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $CE$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $CE$ является вертикальной прямой, проходящей через $x = -\frac{1}{2}$.

Уравнение прямой $CE$: $x + \frac{1}{2} = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x + \frac{1}{2} = 0$:

$d = \frac{|1 + \frac{1}{2}|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|\frac{3}{2}|}{1} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$

ж) CFF_1

Расстояние от $A$ до плоскости $CFF_1$ равно расстоянию от $A(1,0)$ до прямой $CF$ в плоскости $z=0$.

Координаты точек $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Прямая $CF$ проходит через начало координат $(0,0)$.

Угловой коэффициент прямой $CF$: $m_{CF} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2})} = \frac{-\sqrt{3}}{1} = -\sqrt{3}$.

Уравнение прямой $CF$: $y = -\sqrt{3}x \Rightarrow \sqrt{3}x + y = 0$.

Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $\sqrt{3}x + y = 0$:

$d = \frac{|\sqrt{3}(1) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

12.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние между вершинами:

а) A и $C_1$

б) A и $D_1$

Рис. 12.8

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

а) Расстояние $AC_1$

б) Расстояние $AD_1$

Решение:

a) A и C₁

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Его катеты $AC$ и $CC_1$, гипотенуза $AC_1$.

Длина ребра призмы $CC_1 = 1$ (так как все ребра равны 1).

Найдем длину диагонали $AC$ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Сторона шестиугольника $AB = BC = 1$. Угол $\angle ABC$ в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$AC^2 = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$

Ответ: $AC_1 = 2$

б) A и D₁

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Его катеты $AD$ и $DD_1$, гипотенуза $AD_1$.

Длина ребра призмы $DD_1 = 1$ (так как все ребра равны 1).

Найдем длину диагонали $AD$ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Сторона шестиугольника $a = 1$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ (проходящая через центр, например, $AD$) равна удвоенной длине стороны.

$AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$

Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ADD_1$:

$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2$

$AD_1^2 = 2^2 + 1^2$

$AD_1^2 = 4 + 1 = 5$

$AD_1 = \sqrt{5}$

Ответ: $AD_1 = \sqrt{5}$