Страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.6. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины А до прямой:

а) $BD_1$;

б) $CD_1$.

Рис. 12.8

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $H = 1$ (единица длины).

Найти:

а) Расстояние от вершины A до прямой $BD_1$.

б) Расстояние от вершины A до прямой $CD_1$.

Решение:

Поскольку призма правильная и все её ребра равны $1$, это означает, что основанием является правильный шестиугольник со стороной $a=1$, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и имеют длину $H=1$. Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$ известны следующие длины: сторона шестиугольника (например, $AB$, $BC$, $CD$) равна $a = 1$; малая диагональ (например, $AC$, $BD$) равна $d_{small} = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$; большая диагональ (например, $AD$) равна $d_{large} = 2a = 2$. Расстояние от точки до прямой в пространстве можно найти, построив перпендикуляр из точки к прямой. Если треугольник, образованный точкой и двумя точками на прямой, является прямоугольным, то расстояние равно одному из катетов.

а) Расстояние от вершины A до прямой $BD_1$

Рассмотрим треугольник $ABD_1$. Нам нужно найти высоту, опущенную из вершины A на прямую $BD_1$. Найдем длины сторон треугольника $ABD_1$: длина ребра $AB = 1$ (сторона основания). Длина отрезка $BD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. Катеты $DD_1 = H = 1$ (высота призмы) и $BD = \sqrt{3}$ (малая диагональ основания). По теореме Пифагора $BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$. Следовательно, $BD_1 = \sqrt{4} = 2$. Длина отрезка $AD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катеты $DD_1 = H = 1$ и $AD = 2$ (большая диагональ основания). По теореме Пифагора $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Следовательно, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $ABD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $AB^2 + BD_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $AB^2 + BD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ABD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине B (гипотенуза $AD_1$ лежит напротив прямого угла). В прямоугольном треугольнике $ABD_1$ перпендикуляр из вершины A к прямой $BD_1$ совпадает со стороной $AB$, так как $\angle ABD_1 = 90^\circ$. Поэтому расстояние от вершины A до прямой $BD_1$ равно длине $AB$.

Ответ: $1$

б) Расстояние от вершины A до прямой $CD_1$

Рассмотрим треугольник $ACD_1$. Нам нужно найти высоту, опущенную из вершины A на прямую $CD_1$. Найдем длины сторон треугольника $ACD_1$: длина отрезка $AC = \sqrt{3}$ (малая диагональ основания). Длина отрезка $CD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$. Катеты $DD_1 = H = 1$ (высота призмы) и $CD = 1$ (сторона основания). По теореме Пифагора $CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Следовательно, $CD_1 = \sqrt{2}$. Длина отрезка $AD_1$: Мы уже нашли ее в пункте а), $AD_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $ACD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$. $AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$. Поскольку $AC^2 + CD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C (гипотенуза $AD_1$ лежит напротив прямого угла). В прямоугольном треугольнике $ACD_1$ перпендикуляр из вершины A к прямой $CD_1$ совпадает со стороной $AC$, так как $\angle ACD_1 = 90^\circ$. Поэтому расстояние от вершины A до прямой $CD_1$ равно длине $AC$.

Ответ: $\sqrt{3}$

12.7. Стороны основания правильной треугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1$ равны 1 (рис. 12.9). Найдите расстояние от вершины $A$ этой призмы до плоскости $BCC_1$.

Рис. 12.9

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Стороны основания: $AB = BC = CA = 1$.

Найти:

Расстояние от вершины $A$ до плоскости $BCC_1$.

Решение:

1. Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной треугольной призмой, это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ представляют собой равносторонние треугольники. Боковые грани призмы являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

2. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

3. Рассмотрим плоскость $BCC_1$. Это одна из боковых граней призмы. Эта плоскость содержит прямую $BC$.

4. Проведем в основании $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний со стороной $a = 1$, высота $AH$ также является медианой, то есть точка $H$ является серединой отрезка $BC$.

5. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляя $a=1$, получаем $AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. По построению, отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$ ($AH \perp BC$).

7. Так как призма правильная, ее боковые ребра $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Это означает, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе $AH$. Таким образом, $AH \perp BB_1$.

8. Мы получили, что отрезок $AH$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$), которые лежат в плоскости $BCC_1$. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Следовательно, $AH$ перпендикулярен плоскости $BCC_1$.

9. Таким образом, длина отрезка $AH$ является искомым расстоянием от вершины $A$ до плоскости $BCC_1$.

Ответ:

Расстояние от вершины $A$ до плоскости $BCC_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12.8. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 12.10). Найдите расстояние между вершинами:

а) $A$ и $C_1$;

б) $A$ и $D_1$;

в) $A$ и $C_2$;

г) $B$ и $D_1$;

д) $B$ и $D_2$.

Рис. 12.10

Дано:

Координаты вершин многогранника, исходя из изображенных размеров и прямых углов, при условии, что вершина A находится в начале координат $(0,0,0)$:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (2,0,0)$
• $C = (2,2,0)$ (вывод из B и D, как угол прямоугольного основания)
• $D = (0,2,0)$
• $A_1 = (1,1,1)$
• $B_1 = (1,2,1)$
• $C_1 = (2,2,1)$
• $D_1 = (2,1,1)$
• $A_2 = (0,0,2)$
• $B_2 = (1,0,2)$
• $C_2 = (1,1,2)$
• $D_2 = (0,1,2)$

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах измерения, которые не требуют перевода в систему СИ для выполнения расчетов расстояний.

Найти:

Расстояние между указанными вершинами.

Решение:

Для нахождения расстояния между двумя точками $(x_1, y_1, z_1)$ и $(x_2, y_2, z_2)$ в трехмерном пространстве используется формула:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

а) A и C_1

Координаты: $A=(0,0,0)$, $C_1=(2,2,1)$

$AC_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (1-0)^2}$

$AC_1 = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}$

$AC_1 = \sqrt{4 + 4 + 1}$

$AC_1 = \sqrt{9} = 3$

Ответ: $3$

б) A и D_1

Координаты: $A=(0,0,0)$, $D_1=(2,1,1)$

$AD_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2}$

$AD_1 = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2}$

$AD_1 = \sqrt{4 + 1 + 1}$

$AD_1 = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

в) A и C_2

Координаты: $A=(0,0,0)$, $C_2=(1,1,2)$

$AC_2 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (2-0)^2}$

$AC_2 = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}$

$AC_2 = \sqrt{1 + 1 + 4}$

$AC_2 = \sqrt{6}$

Ответ: $\sqrt{6}$

г) B и D_1

Координаты: $B=(2,0,0)$, $D_1=(2,1,1)$

$BD_1 = \sqrt{(2-2)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2}$

$BD_1 = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}$

$BD_1 = \sqrt{0 + 1 + 1}$

$BD_1 = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$

д) B и D_2

Координаты: $B=(2,0,0)$, $D_2=(0,1,2)$

$BD_2 = \sqrt{(0-2)^2 + (1-0)^2 + (2-0)^2}$

$BD_2 = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2}$

$BD_2 = \sqrt{4 + 1 + 4}$

$BD_2 = \sqrt{9} = 3$

Ответ: $3$

12.9. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 12.10). Найдите расстояние от вершины А до прямой:

а) $B_1C_1$

б) $A_1D_1$

в) $B_2C_2$

Рис. 12.10

Дано:
Многогранник, состоящий из двух прямоугольных параллелепипедов. Координаты вершин (при A=(0,0,0)) определены из длин ребер на рисунке, предполагая осевую ориентацию и прямоугольные грани:
A = (0,0,0)
B = (2,0,0)
D = (0,2,0)
A1 = (0,0,1)
B1 = (2,0,1)
C1 = (2,1,1) (так как B1C1 = 1)
D1 = (0,1,1) (так как A1D1 параллельно B1C1 и имеет длину 1)
A2 = (0,0,3) (так как A1A2 = 2)
B2 = (2,0,3)
C2 = (2,1,3)
D2 = (0,1,3)
Примечание: метка "1" на ребре D2C2 на рисунке, вероятно, является опечаткой, так как согласно выбранной системе координат длина этого ребра составляет 2.

Найти:
Расстояние от вершины A до прямой:
а) B1C1
б) A1D1
в) B2C2

Решение:

Для нахождения расстояния от точки P($x_0, y_0, z_0$) до прямой, проходящей через точки Q1($x_1, y_1, z_1$) и Q2($x_2, y_2, z_2$), используется формула:
$d = \frac{||\vec{Q_1P} \times \vec{Q_1Q_2}||}{||\vec{Q_1Q_2}||}$
Точка P = A = (0,0,0).

а) $B_1C_1$

Прямая проходит через точки Q1 = B1 = (2,0,1) и Q2 = C1 = (2,1,1).

Найдем вектор $\vec{Q_1Q_2} = \vec{B_1C_1} = (2-2, 1-0, 1-1) = (0,1,0)$.
Длина вектора $\vec{B_1C_1}$ равна $||\vec{B_1C_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Найдем вектор $\vec{Q_1P} = \vec{B_1A} = (0-2, 0-0, 0-1) = (-2,0,-1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{B_1A} \times \vec{B_1C_1}$:
$\vec{B_1A} \times \vec{B_1C_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-2) = (1, 0, -2)$
Длина векторного произведения равна $||\vec{B_1A} \times \vec{B_1C_1}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние $d = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

б) $A_1D_1$

Прямая проходит через точки Q1 = A1 = (0,0,1) и Q2 = D1 = (0,1,1).

Найдем вектор $\vec{Q_1Q_2} = \vec{A_1D_1} = (0-0, 1-0, 1-1) = (0,1,0)$.
Длина вектора $\vec{A_1D_1}$ равна $||\vec{A_1D_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Найдем вектор $\vec{Q_1P} = \vec{A_1A} = (0-0, 0-0, 0-1) = (0,0,-1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{A_1A} \times \vec{A_1D_1}$:
$\vec{A_1A} \times \vec{A_1D_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = (1, 0, 0)$
Длина векторного произведения равна $||\vec{A_1A} \times \vec{A_1D_1}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Расстояние $d = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

в) $B_2C_2$

Прямая проходит через точки Q1 = B2 = (2,0,3) и Q2 = C2 = (2,1,3).

Найдем вектор $\vec{Q_1Q_2} = \vec{B_2C_2} = (2-2, 1-0, 3-3) = (0,1,0)$.
Длина вектора $\vec{B_2C_2}$ равна $||\vec{B_2C_2}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Найдем вектор $\vec{Q_1P} = \vec{B_2A} = (0-2, 0-0, 0-3) = (-2,0,-3)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{B_2A} \times \vec{B_2C_2}$:
$\vec{B_2A} \times \vec{B_2C_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 0 - (-3) \cdot 0) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-2) = (3, 0, -2)$
Длина векторного произведения равна $||\vec{B_2A} \times \vec{B_2C_2}|| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 0 + 4} = \sqrt{13}$.

Расстояние $d = \frac{\sqrt{13}}{1} = \sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$

12.10. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб со стороной 3 и острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите меньшую диагональ призмы (рис. 12.11).

Рис. 12.11

Дано:

Основание прямой четырехугольной призмы - ромб.

Сторона ромба $a = 3$

Острый угол ромба $\alpha = 60^\circ$

Боковое ребро призмы (высота) $H = 4$

Найти:

Меньшую диагональ призмы $D_{призмы}$

Решение:

1. Найдем меньшую диагональ ромба, лежащего в основании.

В ромбе все стороны равны $a=3$. Острый угол ромба равен $60^\circ$. Меньшая диагональ ромба соединяет вершины, лежащие напротив острых углов. Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами ромба и этой меньшей диагональю. Пусть это будет треугольник ABD, где AB = AD = 3, а угол между ними $\angle BAD = 60^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника ABD:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle BAD)$

$BD^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \cos(60^\circ)$

$BD^2 = 9 + 9 - 2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 18 - 9 = 9$

$BD = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, меньшая диагональ ромба $d_{ромба} = 3$. (К слову, поскольку равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ между равными сторонами является равносторонним, меньшая диагональ ромба в данном случае равна его стороне.)

2. Найдем меньшую диагональ призмы.

Диагональ прямой призмы образует прямоугольный треугольник с соответствующей диагональю основания и боковым ребром (высотой призмы). Меньшая диагональ призмы будет соответствовать меньшей диагонали основания.

Пусть $D_{призмы}$ - меньшая диагональ призмы, $d_{ромба}$ - меньшая диагональ ромба (которую мы нашли как 3), и $H$ - высота призмы (равная длине бокового ребра, $H = 4$).

По теореме Пифагора:

$D_{призмы}^2 = d_{ромба}^2 + H^2$

$D_{призмы}^2 = 3^2 + 4^2$

$D_{призмы}^2 = 9 + 16$

$D_{призмы}^2 = 25$

$D_{призмы} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

12.11. Постройте высоту правильной шестиугольной пирамиды SABCDFF (рис. 12.12).

Рис. 12.12

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Найти:

Построить высоту пирамиды.

Решение:

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания. Для правильной пирамиды вершина проецируется точно в центр её основания. В данном случае, основанием пирамиды $SABCDEF$ является правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Центром правильного шестиугольника является точка пересечения его главных (больших) диагоналей, которые соединяют противоположные вершины. На представленном рисунке $12.12$ такими диагоналями являются, например, $AD$, $BE$ и $CF$. Все эти диагонали пересекаются в одной точке, которая и является центром шестиугольника.

Для построения высоты пирамиды необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести одну из главных диагоналей основания шестиугольника, например, диагональ $AD$.

2. Провести вторую главную диагональ основания, например, диагональ $BE$.

3. Обозначить точку пересечения этих двух диагоналей как $O$. Эта точка $O$ является центром правильного шестиугольника $ABCDEF$ и, следовательно, центром основания пирамиды.

4. Соединить вершину пирамиды $S$ с найденной точкой $O$. Отрезок $SO$ является искомой высотой пирамиды.

Таким образом, отрезок $SO$ будет перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$.

Ответ:

Высотой правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ является отрезок $SO$, где $O$ - центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, найденный как точка пересечения его главных диагоналей (например, $AD$ и $BE$).