Номер 12.9, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.9. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 12.10). Найдите расстояние от вершины А до прямой:

а) $B_1C_1$

б) $A_1D_1$

в) $B_2C_2$

Рис. 12.10

Дано:
Многогранник, состоящий из двух прямоугольных параллелепипедов. Координаты вершин (при A=(0,0,0)) определены из длин ребер на рисунке, предполагая осевую ориентацию и прямоугольные грани:
A = (0,0,0)
B = (2,0,0)
D = (0,2,0)
A1 = (0,0,1)
B1 = (2,0,1)
C1 = (2,1,1) (так как B1C1 = 1)
D1 = (0,1,1) (так как A1D1 параллельно B1C1 и имеет длину 1)
A2 = (0,0,3) (так как A1A2 = 2)
B2 = (2,0,3)
C2 = (2,1,3)
D2 = (0,1,3)
Примечание: метка "1" на ребре D2C2 на рисунке, вероятно, является опечаткой, так как согласно выбранной системе координат длина этого ребра составляет 2.

Найти:
Расстояние от вершины A до прямой:
а) B1C1
б) A1D1
в) B2C2

Решение:

Для нахождения расстояния от точки P($x_0, y_0, z_0$) до прямой, проходящей через точки Q1($x_1, y_1, z_1$) и Q2($x_2, y_2, z_2$), используется формула:
$d = \frac{||\vec{Q_1P} \times \vec{Q_1Q_2}||}{||\vec{Q_1Q_2}||}$
Точка P = A = (0,0,0).

а) $B_1C_1$

Прямая проходит через точки Q1 = B1 = (2,0,1) и Q2 = C1 = (2,1,1).

Найдем вектор $\vec{Q_1Q_2} = \vec{B_1C_1} = (2-2, 1-0, 1-1) = (0,1,0)$.
Длина вектора $\vec{B_1C_1}$ равна $||\vec{B_1C_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Найдем вектор $\vec{Q_1P} = \vec{B_1A} = (0-2, 0-0, 0-1) = (-2,0,-1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{B_1A} \times \vec{B_1C_1}$:
$\vec{B_1A} \times \vec{B_1C_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-2) = (1, 0, -2)$
Длина векторного произведения равна $||\vec{B_1A} \times \vec{B_1C_1}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$.

Расстояние $d = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$

б) $A_1D_1$

Прямая проходит через точки Q1 = A1 = (0,0,1) и Q2 = D1 = (0,1,1).

Найдем вектор $\vec{Q_1Q_2} = \vec{A_1D_1} = (0-0, 1-0, 1-1) = (0,1,0)$.
Длина вектора $\vec{A_1D_1}$ равна $||\vec{A_1D_1}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Найдем вектор $\vec{Q_1P} = \vec{A_1A} = (0-0, 0-0, 0-1) = (0,0,-1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{A_1A} \times \vec{A_1D_1}$:
$\vec{A_1A} \times \vec{A_1D_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(0) = (1, 0, 0)$
Длина векторного произведения равна $||\vec{A_1A} \times \vec{A_1D_1}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Расстояние $d = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: $1$

в) $B_2C_2$

Прямая проходит через точки Q1 = B2 = (2,0,3) и Q2 = C2 = (2,1,3).

Найдем вектор $\vec{Q_1Q_2} = \vec{B_2C_2} = (2-2, 1-0, 3-3) = (0,1,0)$.
Длина вектора $\vec{B_2C_2}$ равна $||\vec{B_2C_2}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.

Найдем вектор $\vec{Q_1P} = \vec{B_2A} = (0-2, 0-0, 0-3) = (-2,0,-3)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{B_2A} \times \vec{B_2C_2}$:
$\vec{B_2A} \times \vec{B_2C_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 0 - (-3) \cdot 0) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-2) = (3, 0, -2)$
Длина векторного произведения равна $||\vec{B_2A} \times \vec{B_2C_2}|| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 0 + 4} = \sqrt{13}$.

Расстояние $d = \frac{\sqrt{13}}{1} = \sqrt{13}$.

Ответ: $\sqrt{13}$