Номер 12.7, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.7. Стороны основания правильной треугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1$ равны 1 (рис. 12.9). Найдите расстояние от вершины $A$ этой призмы до плоскости $BCC_1$.

Рис. 12.9

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма.

Стороны основания: $AB = BC = CA = 1$.

Найти:

Расстояние от вершины $A$ до плоскости $BCC_1$.

Решение:

1. Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ является правильной треугольной призмой, это означает, что ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ представляют собой равносторонние треугольники. Боковые грани призмы являются прямоугольниками, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

2. Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

3. Рассмотрим плоскость $BCC_1$. Это одна из боковых граней призмы. Эта плоскость содержит прямую $BC$.

4. Проведем в основании $ABC$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний со стороной $a = 1$, высота $AH$ также является медианой, то есть точка $H$ является серединой отрезка $BC$.

5. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Подставляя $a=1$, получаем $AH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. По построению, отрезок $AH$ перпендикулярен стороне $BC$ ($AH \perp BC$).

7. Так как призма правильная, ее боковые ребра $BB_1$ и $CC_1$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Это означает, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе $AH$. Таким образом, $AH \perp BB_1$.

8. Мы получили, что отрезок $AH$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($BC$ и $BB_1$), которые лежат в плоскости $BCC_1$. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. Следовательно, $AH$ перпендикулярен плоскости $BCC_1$.

9. Таким образом, длина отрезка $AH$ является искомым расстоянием от вершины $A$ до плоскости $BCC_1$.

Ответ:

Расстояние от вершины $A$ до плоскости $BCC_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.