Номер 12.14, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.14. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 12.7) найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACB_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина стороны куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$

• $B_1 = (1,0,1)$

Необходимо найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$.

Найдем уравнение плоскости $ACB_1$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Для нахождения коэффициентов $A, B, C$ используем вектор нормали к плоскости. Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен двум векторам, лежащим в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$.

Векторы:

• $\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$

• $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ находится как векторное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (1, -1, -1)$

Таким образом, коэффициенты уравнения плоскости $A=1$, $B=-1$, $C=-1$. Уравнение плоскости примет вид $x - y - z + D = 0$.

Чтобы найти $D$, подставим координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например, $A(0,0,0)$:

$0 - 0 - 0 + D = 0 \implies D = 0$.

Следовательно, уравнение плоскости $ACB_1$ есть $x - y - z = 0$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B(x_0, y_0, z_0) = B(1,0,0)$, а уравнение плоскости $x - y - z = 0$, так что $A=1, B=-1, C=-1, D=0$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACB_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.