gdz.top
Номер 12.16, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков
Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава II. Перпендикулярность в пространстве. Параграф 12. Расстояние от точки до плоскости - номер 12.16, страница 76.
№12.15
№12.16 (с. 76)
Условие. №12.16 (с. 76)
12.16. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 (рис. 12.13).
Решение. №12.16 (с. 76)
Решение 2 (rus). №12.16 (с. 76)
Дано:
правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны $a = 1$ ед.
Перевод в СИ: так как единицы измерения не указаны, принимаем $a = 1$ м (метр).
Найти:
высота пирамиды $H = ?$
Решение:
Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABC$ является равносторонним треугольником. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, длина стороны основания $a = AB = BC = CA = 1$, и длины боковых ребер $SA = SB = SC = 1$.
Высота $SO = H$ правильной треугольной пирамиды опускается из вершины $S$ в центр $O$ основания $ABC$. Центр $O$ равностороннего треугольника является точкой пересечения его медиан, биссектрис и высот, а также центром описанной и вписанной окружностей.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SA$ - гипотенуза (боковое ребро), $SO$ - катет (высота пирамиды), а $AO$ - второй катет (радиус описанной окружности вокруг основания).
Длина $AO$ (радиус описанной окружности $R$) для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Подставляем значение $a = 1$: $R = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ед.
Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $SOA$:
$SA^2 = SO^2 + AO^2$
Мы знаем, что $SA = 1$ и $AO = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим эти значения:
$1^2 = H^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$
$1 = H^2 + \frac{1}{3}$
Выразим $H^2$:
$H^2 = 1 - \frac{1}{3}$
$H^2 = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$
$H^2 = \frac{2}{3}$
Находим $H$:
$H = \sqrt{\frac{2}{3}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$H = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Ответ:
Высота правильной треугольной пирамиды равна $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ед.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 12.16 расположенного на странице 76 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12.16 (с. 76), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.