Страница 76 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12.12. Найдите высоту правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 12.12).

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$

Боковое ребро $L = 2$

Найти:

Высота пирамиды $H$

Решение:

В правильной шестиугольной пирамиде основанием является правильный шестиугольник, а вершина проецируется в его центр. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой из его вершин равно длине стороны этого шестиугольника. Таким образом, радиус описанной окружности основания $R$ равен стороне основания $a$.

В данном случае, $a = 1$, следовательно, расстояние от центра основания до вершины основания $R = 1$.

Высота пирамиды $H$, боковое ребро $L$ и расстояние $R$ от центра основания до вершины основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $L$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ являются катетами.

Согласно теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

Подставим известные значения:

$H^2 + 1^2 = 2^2$

$H^2 + 1 = 4$

$H^2 = 4 - 1$

$H^2 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

12.13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 12.8). Найдите расстояние от вершины A до прямой:

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ (это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$).

Найти:

а) Расстояние от вершины A до прямой $BE_1$.

б) Расстояние от вершины A до прямой $CE_1$.

Решение:

Для правильной шестиугольной призмы с длиной стороны основания $a$ и высотой $h$ справедливы следующие соотношения:

• Длина ребра основания: $a=1$.

• Длина бокового ребра (высота призмы): $h=1$.

• Длина короткой диагонали основания (соединяющей вершины через одну, например, $AC, AE, CE, BD, BF, DF$): $d_{короткая} = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

• Длина длинной диагонали основания (соединяющей противоположные вершины, например, $AD, BE, CF$): $d_{длинная} = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

а) BE₁

Рассмотрим треугольник $ABE_1$. Искомое расстояние от вершины A до прямой $BE_1$ - это длина высоты, опущенной из вершины A на сторону $BE_1$. Определим длины сторон этого треугольника:

• Длина ребра $AB$: $AB = a = 1$.

• Длина диагонали $BE_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$. Его катеты $EE_1 = h = 1$ и $BE$. $BE$ является длинной диагональю основания, поэтому $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

  По теореме Пифагора: $BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

  Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

• Длина диагонали $AE_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$. Его катеты $EE_1 = h = 1$ и $AE$. $AE$ является короткой диагональю основания, поэтому $AE = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

  По теореме Пифагора: $AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

  Следовательно, $AE_1 = 2$.

Стороны треугольника $ABE_1$ имеют длины: $AB=1$, $BE_1=\sqrt{5}$, $AE_1=2$.

Проверим, является ли треугольник $ABE_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $ABE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине A ($AB \perp AE_1$).

Расстояние от вершины A до прямой $BE_1$ (обозначим его $d_a$) можно найти из формулы площади треугольника. Площадь прямоугольного треугольника $ABE_1$ равна:

$S_{\triangle ABE_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1$.

С другой стороны, площадь треугольника также может быть выражена как $S_{\triangle ABE_1} = \frac{1}{2} \cdot BE_1 \cdot d_a$.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot d_a$.

$d_a = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

б) CE₁

Рассмотрим треугольник $ACE_1$. Искомое расстояние от вершины A до прямой $CE_1$ - это длина высоты, опущенной из вершины A на сторону $CE_1$. Определим длины сторон этого треугольника:

• Длина диагонали $AC$: $AC$ - короткая диагональ основания, $AC = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

• Длина диагонали $CE_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CEE_1$. Его катеты $EE_1 = h = 1$ и $CE$. $CE$ является короткой диагональю основания, поэтому $CE = a\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

  По теореме Пифагора: $CE_1^2 = CE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.

  Следовательно, $CE_1 = 2$.

• Длина диагонали $AE_1$: Уже вычислено в пункте а), $AE_1 = 2$.

Стороны треугольника $ACE_1$ имеют длины: $AC=\sqrt{3}$, $CE_1=2$, $AE_1=2$.

Поскольку $CE_1 = AE_1 = 2$, треугольник $ACE_1$ является равнобедренным.

Обозначим искомое расстояние $d_b$. Пусть P - основание перпендикуляра, опущенного из вершины A на прямую $CE_1$. Тогда $AP = d_b$.

Найдем косинус угла $\angle ACE_1$ в треугольнике $ACE_1$ по теореме косинусов:

$AE_1^2 = AC^2 + CE_1^2 - 2 \cdot AC \cdot CE_1 \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$2^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$4 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$4 = 7 - 4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACE_1)$

$4\sqrt{3} \cdot \cos(\angle ACE_1) = 7 - 4 = 3$

$\cos(\angle ACE_1) = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Так как $\cos(\angle ACE_1) > 0$, угол $\angle ACE_1$ является острым, и основание перпендикуляра P лежит на отрезке $CE_1$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $APC$ (угол P прямой). Найдем длину отрезка $CP$:

$CP = AC \cdot \cos(\angle ACE_1) = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4}$.

Используем теорему Пифагора в треугольнике $APC$, чтобы найти $d_b = AP$:

$d_b^2 = AP^2 = AC^2 - CP^2 = (\sqrt{3})^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 3 - \frac{9}{16} = \frac{48}{16} - \frac{9}{16} = \frac{39}{16}$.

$d_b = \sqrt{\frac{39}{16}} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$

12.14. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 12.7) найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACB_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина стороны куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACB_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$

• $B_1 = (1,0,1)$

Необходимо найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$.

Найдем уравнение плоскости $ACB_1$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Для нахождения коэффициентов $A, B, C$ используем вектор нормали к плоскости. Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен двум векторам, лежащим в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$.

Векторы:

• $\vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$

• $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ находится как векторное произведение $\vec{AC}$ и $\vec{AB_1}$:

$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = 1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (1, -1, -1)$

Таким образом, коэффициенты уравнения плоскости $A=1$, $B=-1$, $C=-1$. Уравнение плоскости примет вид $x - y - z + D = 0$.

Чтобы найти $D$, подставим координаты одной из точек, принадлежащих плоскости, например, $A(0,0,0)$:

$0 - 0 - 0 + D = 0 \implies D = 0$.

Следовательно, уравнение плоскости $ACB_1$ есть $x - y - z = 0$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B(x_0, y_0, z_0) = B(1,0,0)$, а уравнение плоскости $x - y - z = 0$, так что $A=1, B=-1, C=-1, D=0$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACB_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

12.15. Постройте высоту правильной треугольной пирамиды SABC (рис. 12.13).

Рис. 12.13

Нахождение центра основания:

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ основанием является правильный треугольник $ABC$. Высота правильной пирамиды опускается из вершины $S$ в центр основания $ABC$. Центром правильного (равностороннего) треугольника является точка пересечения его медиан (которая также является точкой пересечения высот, биссектрис, а также центром вписанной и описанной окружностей).

Для нахождения центра основания $ABC$ выполните следующие шаги:

1. Найдите середину одной из сторон основания, например, стороны $BC$. Обозначим эту точку $M$.

2. Проведите отрезок (медиану) из противоположной вершины $A$ к точке $M$. Это будет медиана $AM$.

3. Аналогично, найдите середину другой стороны, например, стороны $AC$. Обозначим эту точку $N$.

4. Проведите отрезок (медиану) из противоположной вершины $B$ к точке $N$. Это будет медиана $BN$.

5. Точка пересечения медиан $AM$ и $BN$ (обозначим её $H$) является центром основания $ABC$. Все три медианы правильного треугольника пересекаются в одной точке, поэтому достаточно найти пересечение любых двух медиан.

Построение высоты пирамиды:

После того как найден центр основания $H$, высота пирамиды $SH$ строится как отрезок, соединяющий вершину пирамиды $S$ с центром основания $H$. Отрезок $SH$ будет перпендикулярен плоскости основания $ABC$.

Ответ:

12.16. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 (рис. 12.13).

Дано:

правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны $a = 1$ ед.

Перевод в СИ: так как единицы измерения не указаны, принимаем $a = 1$ м (метр).

Найти:

высота пирамиды $H = ?$

Решение:

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Поскольку пирамида правильная, ее основание $ABC$ является равносторонним треугольником. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Следовательно, длина стороны основания $a = AB = BC = CA = 1$, и длины боковых ребер $SA = SB = SC = 1$.

Высота $SO = H$ правильной треугольной пирамиды опускается из вершины $S$ в центр $O$ основания $ABC$. Центр $O$ равностороннего треугольника является точкой пересечения его медиан, биссектрис и высот, а также центром описанной и вписанной окружностей.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SA$ - гипотенуза (боковое ребро), $SO$ - катет (высота пирамиды), а $AO$ - второй катет (радиус описанной окружности вокруг основания).

Длина $AO$ (радиус описанной окружности $R$) для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Подставляем значение $a = 1$: $R = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ед.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $SOA$:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

Мы знаем, что $SA = 1$ и $AO = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Подставим эти значения:

$1^2 = H^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$

$1 = H^2 + \frac{1}{3}$

Выразим $H^2$:

$H^2 = 1 - \frac{1}{3}$

$H^2 = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

$H^2 = \frac{2}{3}$

Находим $H$:

$H = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ:

Высота правильной треугольной пирамиды равна $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ед.

12.17. Дворец мира и согласия в г. Нур-Султане имеет форму правильной четырехугольной пирамиды (рис. 12.14), в которой высота равна стороне основания и составляет 62 м. Найдите длину бокового ребра этой пирамиды.

Дано:

Форма: правильная четырехугольная пирамида

Высота пирамиды: $H = 62$ м

Сторона основания: $a = 62$ м

Перевод всех данных в систему СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Высота пирамиды: $H = 62$ м

Сторона основания: $a = 62$ м

Найти:

Длина бокового ребра: $L$

Решение:

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основанием является квадрат. Высота пирамиды $H$ опускается в центр основания.

Боковое ребро $L$, высота пирамиды $H$ и половина диагонали основания $d/2$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой.

Сначала найдем длину диагонали основания $d$. Для квадрата со стороной $a$ диагональ вычисляется по формуле:

$d = a\sqrt{2}$

Подставим значение $a = 62$ м:

$d = 62\sqrt{2}$ м

Теперь найдем половину диагонали основания:

$\frac{d}{2} = \frac{62\sqrt{2}}{2} = 31\sqrt{2}$ м

Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром $L$, высотой $H$ и половиной диагонали $d/2$:

$L^2 = H^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2$

Подставим известные значения $H = 62$ м и $\frac{d}{2} = 31\sqrt{2}$ м:

$L^2 = 62^2 + (31\sqrt{2})^2$

Вычислим квадраты:

$62^2 = 3844$

$(31\sqrt{2})^2 = 31^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 961 \cdot 2 = 1922$

Теперь сложим эти значения:

$L^2 = 3844 + 1922$

$L^2 = 5766$

Чтобы найти $L$, извлечем квадратный корень:

$L = \sqrt{5766}$

Вычислим приближенное значение:

$L \approx 75.934$ м

Ответ:

Длина бокового ребра этой пирамиды составляет приблизительно $75.934$ м.

12.18. Определите понятие расстояния между параллельными прямой и плоскостью.

Решение

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью определяется как длина перпендикулярного отрезка, проведенного из любой точки данной прямой до данной плоскости. Поскольку прямая параллельна плоскости, все точки этой прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости. Таким образом, для определения расстояния достаточно выбрать любую точку на прямой, опустить из нее перпендикуляр на плоскость и измерить длину этого перпендикуляра.

Ответ: Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость.

12.19. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $ABC$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Прямая $A_1C_1$.

Плоскость $ABC$.

Найти:

Расстояние между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Рассмотрим единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина всех ребер куба, по определению единичного куба, равна $1$.

Плоскость $ABC$ является нижней гранью куба.

Прямая $A_1C_1$ представляет собой диагональ верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$.

Верхняя грань куба $A_1B_1C_1D_1$ всегда параллельна нижней грани $ABCD$ (то есть плоскости $ABC$).

Поскольку прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, которая параллельна плоскости $ABC$, то прямая $A_1C_1$ также параллельна плоскости $ABC$.

Расстояние между параллельной прямой и плоскостью определяется как расстояние от любой точки этой прямой до данной плоскости.

Возьмем, например, точку $A_1$, которая лежит на прямой $A_1C_1$.

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A_1$ на плоскость $ABC$. В данном случае, таким перпендикуляром является ребро $AA_1$ куба.

Длина ребра $AA_1$ единичного куба равна $1$.

Следовательно, расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC$ равно $AA_1 = 1$.

Таким образом, расстояние между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $ABC$ равно $1$.

Ответ:

$1$

12.20. Определите понятие расстояния между двумя параллельными плоскостями.

Решение

Расстояние между двумя параллельными плоскостями определяется как длина любого перпендикулярного отрезка, проведенного из произвольной точки одной плоскости к другой плоскости. Поскольку плоскости параллельны, длина такого перпендикуляра является постоянной величиной и не зависит от выбора конкретной точки на одной из плоскостей.

Ответ: Расстояние между двумя параллельными плоскостями – это длина общего перпендикуляра, проведенного между ними.

12.21. Для единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $ABC$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $ABC$.

Решение:

Плоскости $A_1B_1C_1$ и $ABC$ представляют собой верхнюю и нижнюю грани единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно.

В любом кубе противоположные грани параллельны. Следовательно, плоскости $A_1B_1C_1$ (верхняя грань) и $ABC$ (нижняя грань) параллельны между собой.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями определяется как длина любого отрезка, перпендикулярного обеим плоскостям, концы которого лежат на этих плоскостях.

В кубе, ребра, соединяющие соответствующие вершины нижней и верхней граней (например, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$), перпендикулярны как нижней плоскости $ABC$, так и верхней плоскости $A_1B_1C_1$.

Длина каждого такого ребра в единичном кубе равна его стороне. По условию, куб является единичным, что означает, что длина его ребра $a = 1$.

Таким образом, расстояние $d$ между плоскостями $A_1B_1C_1$ и $ABC$ равно длине ребра куба.

$d = a = 1$.

Ответ: 1