Страница 73 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите равенство отрезков $AB$ и $A'B'$ самостоятельно.

Докажите самостоятельно, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче любой наклонной, проведенной из этой точки к данной плоскости.

Докажите равенство отрезков AB и A'B' самостоятельно.

Дано: Точки $A'$ и $B'$ являются образами точек $A$ и $B$ соответственно при центральной симметрии относительно точки $O$.

Найти: Доказать, что $AB = A'B'$.

Решение:
1. По определению центральной симметрии, точка $O$ является серединой отрезков $AA'$ и $BB'$.
2. Следовательно, $AO = A'O$ и $BO = B'O$.
3. Углы $\angle AOB$ и $\angle A'OB'$ являются вертикальными углами, поэтому $\angle AOB = \angle A'OB'$.
4. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'OB'$. У них $AO = A'O$, $BO = B'O$ и $\angle AOB = \angle A'OB'$.
5. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS), $\triangle AOB \cong \triangle A'OB'$.
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть $AB = A'B'$.

Ответ: Равенство отрезков $AB$ и $A'B'$ доказано.

Докажите самостоятельно, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче любой наклонной, проведенной из этой точки к данной плоскости.

Дано:
* Точка $P$, не лежащая на плоскости $\alpha$.
* Отрезок $PH$ - перпендикуляр, опущенный из точки $P$ на плоскость $\alpha$, где $H$ - основание перпендикуляра на плоскости $\alpha$.
* Отрезок $PL$ - наклонная, проведенная из точки $P$ к плоскости $\alpha$, где $L$ - основание наклонной на плоскости $\alpha$, причем $L \ne H$.

Найти: Доказать, что $PH < PL$.

Решение:
1. Рассмотрим треугольник $\triangle PHL$.
2. По определению перпендикуляра к плоскости, отрезок $PH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $H$. В частности, $PH \perp HL$.
3. Следовательно, треугольник $\triangle PHL$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $H$.
4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов.
5. В треугольнике $\triangle PHL$, $PL$ является гипотенузой (сторона, противоположная прямому углу $H$), а $PH$ и $HL$ являются катетами.
6. Таким образом, $PH < PL$.
7. Это также следует из теоремы Пифагора: $PL^2 = PH^2 + HL^2$. Поскольку $HL$ - это отрезок, его длина $HL > 0$ (так как $L \ne H$).
Следовательно, $PL^2 = PH^2 + HL^2 > PH^2$.
Извлекая квадратный корень, получаем $PL > PH$.

Ответ: Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче любой наклонной, проведенной из этой точки к данной плоскости.