Страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Это кратчайшее расстояние от данной точки до любой точки на данной прямой.

Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве используются следующие геометрические факты:

• Определение перпендикуляра: расстояние от точки до прямой по определению является длиной отрезка, соединяющего точку с основанием перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Этот перпендикуляр является кратчайшим отрезком, соединяющим точку с прямой, что следует из неравенства треугольника (в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета).

• Построение перпендикуляра: для любой точки в пространстве и любой прямой существует единственный перпендикуляр, который можно опустить из этой точки на данную прямую.

• Теорема Пифагора: часто используется в случаях, когда можно построить прямоугольный треугольник, одной из сторон которого является искомое расстояние (катет), а другие стороны и гипотенуза известны или могут быть найдены.

• Тригонометрические соотношения: если известен угол между прямой и отрезком, соединяющим исходную точку с какой-либо другой точкой на прямой, можно использовать синус, косинус или тангенс этого угла для нахождения перпендикулярного расстояния (например, $d = L \cdot \sin(\alpha)$, где $L$ – длина отрезка до произвольной точки на прямой, а $\alpha$ – угол между этим отрезком и прямой).

• Методы координатной геометрии и векторной алгебры: расстояние от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ с направляющим вектором $\vec{a}(l, m, n)$, может быть найдено с использованием векторного произведения. Пусть $\vec{M_1M_0}$ — вектор, соединяющий точку на прямой с данной точкой. Тогда расстояние $d$ вычисляется по формуле:

  $d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{a}|}{|\vec{a}|}$

  Этот факт основан на том, что модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если одна сторона параллелограмма — это направляющий вектор прямой, а другая — вектор $\vec{M_1M_0}$, то искомое расстояние является высотой этого параллелограмма, опущенной на сторону, совпадающую с прямой.

• Свойства плоскости: можно провести единственную плоскость через данную точку перпендикулярно данной прямой. Точка пересечения этой плоскости с прямой будет основанием перпендикуляра, и длина отрезка между исходной точкой и этой точкой пересечения будет искомым расстоянием.

Ответ: Определение перпендикуляра как кратчайшего расстояния, теорема Пифагора, тригонометрические соотношения, методы векторной алгебры и координатной геометрии, а также свойства плоскости, перпендикулярной прямой.

10.1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки A до прямой:
а) $BC$;
б) $BD$;
в) $C_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a=1$.

Найти:

a) Расстояние от точки A до прямой BC.

б) Расстояние от точки A до прямой BD.

в) Расстояние от точки A до прямой $C_1D_1$.

Решение

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке A. Пусть ребра AB, AD, $AA_1$ лежат по осям x, y, z соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

a) BC

Прямая BC проходит через точки $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$.Рассмотрим треугольник ABC. Ребра AB и BC являются ребрами куба, исходящими из одной вершины B. Угол ABC между ними составляет $90^\circ$, так как AB лежит на оси x, а BC параллельно оси y.Следовательно, отрезок AB перпендикулярен прямой BC.Расстояние от точки A до прямой BC - это длина перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC. В данном случае таким перпендикуляром является отрезок AB.Длина отрезка AB равна длине ребра куба, то есть $a=1$.

Ответ: $1$

б) BD

Прямая BD проходит через точки $B(1,0,0)$ и $D(0,1,0)$.Точка A имеет координаты $(0,0,0)$.Рассмотрим треугольник ABD. Это прямоугольный треугольник, так как угол BAD равен $90^\circ$ (ребра AB и AD перпендикулярны).Длины катетов: $AB = a = 1$ и $AD = a = 1$.Длина гипотенузы BD (диагональ квадрата основания) равна $BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.Расстояние от точки A до прямой BD - это длина высоты $h$, опущенной из вершины A на гипотенузу BD в треугольнике ABD.Площадь треугольника ABD можно найти как:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.Также площадь треугольника ABD равна:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.Приравнивая два выражения для площади, получаем:$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя формулу расстояния от точки до прямой:Точка $P = A(0,0,0)$. Прямая проходит через $P_0 = B(1,0,0)$ с направляющим вектором $\vec{d} = D - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1,1,0)$.Вектор $\vec{P_0 P} = \vec{BA} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1,0,0)$.Векторное произведение $\vec{BA} \times \vec{d}$:$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = (0,0,-1)$.Модуль векторного произведения $|\vec{BA} \times \vec{d}| = \sqrt{0^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$.Модуль направляющего вектора $|\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.Расстояние $d = \frac{|\vec{BA} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $C_1 D_1$

Прямая $C_1 D_1$ проходит через точки $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$.Точка A имеет координаты $(0,0,0)$.Вектор направления прямой $C_1 D_1$: $\vec{v}_{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (0-1, 1-1, 1-1) = (-1,0,0)$.Рассмотрим отрезок $AD_1$. Его координаты: $D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.Найдем скалярное произведение вектора $AD_1$ и вектора направления прямой $C_1 D_1$:$\vec{AD_1} \cdot \vec{v}_{C_1D_1} = (0,1,1) \cdot (-1,0,0) = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$.Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор $AD_1$ перпендикулярен прямой $C_1 D_1$.Следовательно, кратчайшее расстояние от точки A до прямой $C_1 D_1$ - это длина отрезка $AD_1$.Длина отрезка $AD_1$ - это длина диагонали грани $ADD_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1.$d(A, C_1 D_1) = |\vec{AD_1}| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$

10.2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 10.6). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой:

а) $AB$;

б) $AC$.

Рис. 10.6

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1, то есть $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра не указана в конкретных единицах измерения, а является безразмерной величиной '1', поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

а) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AB$.

б) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Решение:

а) AB;

Для нахождения расстояния от вершины $S$ до прямой $AB$ рассмотрим треугольник $SAB$.

По условию задачи, все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1. Следовательно, $SA = 1$, $SB = 1$ и $AB = 1$.

Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним треугольником со стороной 1.

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AB$ - это высота $h_{AB}$ равностороннего треугольника $SAB$, проведенная из вершины $S$ к стороне $AB$.

Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя значение $a = 1$, получаем:

$h_{AB} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) AC;

Для нахождения расстояния от вершины $S$ до прямой $AC$ рассмотрим треугольник $SAC$.

По условию, боковые ребра $SA = 1$ и $SC = 1$.

Основание пирамиды $ABCD$ является квадратом со стороной $AB = 1$.

Длина диагонали квадрата $AC$ может быть найдена по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, в треугольнике $SAC$ длины сторон равны: $SA = 1$, $SC = 1$, $AC = \sqrt{2}$.

Треугольник $SAC$ является равнобедренным, так как $SA = SC$.

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ - это высота $h_{AC}$ равнобедренного треугольника $SAC$, проведенная из вершины $S$ к основанию $AC$. Пусть $H$ - основание этой высоты на отрезке $AC$.

Поскольку $SAC$ - равнобедренный треугольник, высота $SH$ также является медианой, поэтому точка $H$ является серединой отрезка $AC$.

Длина отрезка $AH = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHA$ (угол $\angle SHA$ прямой).

По теореме Пифагора для треугольника $SHA$:

$SH^2 + AH^2 = SA^2$

Выразим $SH^2$:

$SH^2 = SA^2 - AH^2$

Подставим известные значения:

$SH^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$SH^2 = 1 - \frac{2}{4}$

$SH^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$SH^2 = \frac{1}{2}$

Извлекаем квадратный корень:

$SH = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$SH = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой:

а) $BB_1$;

б) $BC$;

в) $BA_1$.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная.

Длина всех ребер: $AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ: Все ребра имеют длину $L = 1$ (условная единица длины, т.к. конкретная единица не указана).

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямой: a) $BB_1$; б) $BC$; в) $BA_1$.

Решение:

a) $BB_1$

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы. Основание $ABC$ - правильный треугольник со стороной 1.

Боковые грани призмы являются прямоугольниками. Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Это прямоугольник, так как боковые ребра правильной призмы перпендикулярны основаниям.

В прямоугольнике $ABB_1A_1$, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BB_1$ (так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а $AB$ лежит в этой плоскости).

Таким образом, отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $BB_1$.

Длина отрезка $AB$ равна 1 по условию.

Ответ: $1$

б) $BC$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ - это длина высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$ в треугольнике $ABC$.

Треугольник $ABC$ - правильный со стороной $a = 1$.

Высота $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = 1$, поэтому $h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $BA_1$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ - это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на прямую $BA_1$.

Рассмотрим плоскость, содержащую точки $A$, $B$, $A_1$, $B_1$. Это боковая грань $ABB_1A_1$.

Грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником. По условию, все ребра равны 1, значит, $AB = 1$ и $AA_1 = 1$.

Следовательно, $ABB_1A_1$ - это квадрат со стороной 1.

Прямая $BA_1$ - это диагональ этого квадрата.

Нужно найти расстояние от вершины $A$ до диагонали $BA_1$. Пусть $AK$ - искомый перпендикуляр, где $K$ лежит на $BA_1$.

Треугольник $ABA_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $A$ (так как $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а $AB$ лежит в этой плоскости).

Площадь треугольника $ABA_1$ может быть выражена двумя способами:

1. Как половина произведения катетов:

$S_{ABA_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Как половина произведения основания $BA_1$ на высоту $AK$.

Сначала найдем длину диагонали $BA_1$ в квадрате $ABB_1A_1$ по теореме Пифагора:

$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

$BA_1 = \sqrt{2}$.

Тогда $S_{ABA_1} = \frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AK$.

Приравниваем выражения для площади:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AK$

$1 = \sqrt{2} \cdot AK$

$AK = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.4. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 10.8). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой $AD$.

Рис. 10.8

Дано

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Перевод данных в СИ

Размерности длин приведены в одной системе единиц (например, метры). Перевод не требуется.

Найти:

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AD$.

Решение

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$.

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Сторона правильного шестиугольника $a = 1$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ, соединяющая противоположные вершины (например, $A$ и $D$), проходит через центр шестиугольника и равна удвоенной длине стороны.

Следовательно, длина диагонали $AD = 2a$.

Подставим значение $a = 1$:

$AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Теперь рассмотрим треугольник $SAD$. Его стороны:

$SA = l = 2$ (по условию, боковое ребро).

$SD = l = 2$ (по условию, боковое ребро).

$AD = 2$ (вычислено выше).

Таким образом, все стороны треугольника $SAD$ равны 2: $SA = SD = AD = 2$.

Следовательно, треугольник $SAD$ является равносторонним.

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AD$ - это высота, опущенная из вершины $S$ на сторону $AD$ в треугольнике $SAD$. Обозначим эту высоту $h_S$.

В равностороннем треугольнике высота $h$ со стороной $k$ вычисляется по формуле $h = \frac{k\sqrt{3}}{2}$.

Для треугольника $SAD$ сторона $k = AD = 2$.

Тогда высота $h_S = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, расстояние от вершины $S$ до прямой $AD$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AD$ равно $\sqrt{3}$.