Номер 10.2, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны 1 (рис. 10.6). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой:

а) $AB$;

б) $AC$.

Рис. 10.6

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1, то есть $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра не указана в конкретных единицах измерения, а является безразмерной величиной '1', поэтому перевод в СИ не требуется.

Найти:

а) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AB$.

б) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Решение:

а) AB;

Для нахождения расстояния от вершины $S$ до прямой $AB$ рассмотрим треугольник $SAB$.

По условию задачи, все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1. Следовательно, $SA = 1$, $SB = 1$ и $AB = 1$.

Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним треугольником со стороной 1.

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AB$ - это высота $h_{AB}$ равностороннего треугольника $SAB$, проведенная из вершины $S$ к стороне $AB$.

Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя значение $a = 1$, получаем:

$h_{AB} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) AC;

Для нахождения расстояния от вершины $S$ до прямой $AC$ рассмотрим треугольник $SAC$.

По условию, боковые ребра $SA = 1$ и $SC = 1$.

Основание пирамиды $ABCD$ является квадратом со стороной $AB = 1$.

Длина диагонали квадрата $AC$ может быть найдена по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, в треугольнике $SAC$ длины сторон равны: $SA = 1$, $SC = 1$, $AC = \sqrt{2}$.

Треугольник $SAC$ является равнобедренным, так как $SA = SC$.

Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ - это высота $h_{AC}$ равнобедренного треугольника $SAC$, проведенная из вершины $S$ к основанию $AC$. Пусть $H$ - основание этой высоты на отрезке $AC$.

Поскольку $SAC$ - равнобедренный треугольник, высота $SH$ также является медианой, поэтому точка $H$ является серединой отрезка $AC$.

Длина отрезка $AH = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHA$ (угол $\angle SHA$ прямой).

По теореме Пифагора для треугольника $SHA$:

$SH^2 + AH^2 = SA^2$

Выразим $SH^2$:

$SH^2 = SA^2 - AH^2$

Подставим известные значения:

$SH^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$SH^2 = 1 - \frac{2}{4}$

$SH^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$SH^2 = \frac{1}{2}$

Извлекаем квадратный корень:

$SH = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$SH = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$