Номер 10.7, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.7. В тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 1 (рис. 10.10). Найдите расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$.

Рис. 10.10

Дано: Тетраэдр $ABCD$. Все ребра равны $a = 1$. Точка $E$ - середина ребра $AD$.

Перевод в СИ: все величины уже представлены в безразмерных единицах, соответствующих системе СИ (например, метры, если принять $a=1$ метр). Дополнительного перевода не требуется.

Найти: Расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$.

Решение

1. Пусть длина ребра тетраэдра $ABCD$ равна $a=1$. Поскольку все ребра равны, данный тетраэдр является правильным (все его грани являются равносторонними треугольниками).

2. Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$. Пусть $M$ – середина ребра $BC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой. Следовательно, $AM \perp BC$. Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $AM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Аналогично, рассмотрим равносторонний треугольник $DBC$. Медиана $DM$ является также высотой, следовательно, $DM \perp BC$. Длина $DM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AM$ и $DM$, лежащим в плоскости $ADM$, то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$.

5. Точка $E$ является серединой ребра $AD$. Поскольку ребро $AD$ лежит в плоскости $ADM$, то точка $E$ также лежит в плоскости $ADM$.

6. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Так как прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$, и точка $E$ лежит в этой плоскости, а точка $M$ является точкой пересечения прямой $BC$ с плоскостью $ADM$, то отрезок $EM$ будет перпендикуляром к прямой $BC$ ($EM \perp BC$). Таким образом, искомое расстояние равно длине отрезка $EM$.

7. Рассмотрим треугольник $ADM$. Его стороны: $AD=1$ (так как это ребро тетраэдра), $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $DM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (как показано выше). Треугольник $ADM$ является равнобедренным с основанием $AD$.

8. Точка $E$ – середина основания $AD$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $EM$ является высотой, опущенной из вершины $M$ на основание $AD$, и $EM \perp AD$.

9. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEM$ (угол $AEM$ равен $90^\circ$). Гипотенуза $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Катет $AE = \frac{AD}{2} = \frac{1}{2}$.

10. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AEM$: $EM^2 = AM^2 - AE^2$. $EM^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2$ $EM^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ $EM^2 = \frac{2}{4}$ $EM^2 = \frac{1}{2}$ $EM = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.