Номер 10.6, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.6. В единичном кубе $ABCD, B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки A до прямой $CB_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах (единичный куб), перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки A до прямой $CB_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ACB_1$. Необходимо найти расстояние от вершины A до стороны $CB_1$ этого треугольника, что является высотой, опущенной из A на $CB_1$.

1. Найдем длины сторон треугольника $ACB_1$:

• Длина отрезка $AC$ - это диагональ грани $ABCD$. Грань $ABCD$ является квадратом со стороной 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (с прямым углом при вершине B) по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

• Длина отрезка $AB_1$ - это диагональ грани $ABB_1A_1$. Грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 1. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ (с прямым углом при вершине B) по теореме Пифагора:

$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

• Длина отрезка $CB_1$ - это диагональ грани $BCC_1B_1$. Грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1. В прямоугольном треугольнике $BCB_1$ (с прямым углом при вершине C) по теореме Пифагора:

$CB_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2}$ (или $CB_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2}$ так как $CC_1 = BB_1 = 1$) $= \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Так как все стороны треугольника $ACB_1$ равны ($AC = AB_1 = CB_1 = \sqrt{2}$), то треугольник $ACB_1$ является равносторонним.

3. Расстояние от точки A до прямой $CB_1$ - это длина высоты $h$, опущенной из вершины A на сторону $CB_1$ в равностороннем треугольнике $ACB_1$. Формула для высоты равностороннего треугольника со стороной $s$ следующая:

$h = s \frac{\sqrt{3}}{2}$

В нашем случае сторона $s = \sqrt{2}$. Подставим значение $s$ в формулу:

$h = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{6}}{2}$