Вопросы, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Это кратчайшее расстояние от данной точки до любой точки на данной прямой.

Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве используются следующие геометрические факты:

• Определение перпендикуляра: расстояние от точки до прямой по определению является длиной отрезка, соединяющего точку с основанием перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Этот перпендикуляр является кратчайшим отрезком, соединяющим точку с прямой, что следует из неравенства треугольника (в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета).

• Построение перпендикуляра: для любой точки в пространстве и любой прямой существует единственный перпендикуляр, который можно опустить из этой точки на данную прямую.

• Теорема Пифагора: часто используется в случаях, когда можно построить прямоугольный треугольник, одной из сторон которого является искомое расстояние (катет), а другие стороны и гипотенуза известны или могут быть найдены.

• Тригонометрические соотношения: если известен угол между прямой и отрезком, соединяющим исходную точку с какой-либо другой точкой на прямой, можно использовать синус, косинус или тангенс этого угла для нахождения перпендикулярного расстояния (например, $d = L \cdot \sin(\alpha)$, где $L$ – длина отрезка до произвольной точки на прямой, а $\alpha$ – угол между этим отрезком и прямой).

• Методы координатной геометрии и векторной алгебры: расстояние от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ с направляющим вектором $\vec{a}(l, m, n)$, может быть найдено с использованием векторного произведения. Пусть $\vec{M_1M_0}$ — вектор, соединяющий точку на прямой с данной точкой. Тогда расстояние $d$ вычисляется по формуле:

  $d = \frac{|\vec{M_1M_0} \times \vec{a}|}{|\vec{a}|}$

  Этот факт основан на том, что модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Если одна сторона параллелограмма — это направляющий вектор прямой, а другая — вектор $\vec{M_1M_0}$, то искомое расстояние является высотой этого параллелограмма, опущенной на сторону, совпадающую с прямой.

• Свойства плоскости: можно провести единственную плоскость через данную точку перпендикулярно данной прямой. Точка пересечения этой плоскости с прямой будет основанием перпендикуляра, и длина отрезка между исходной точкой и этой точкой пересечения будет искомым расстоянием.

Ответ: Определение перпендикуляра как кратчайшего расстояния, теорема Пифагора, тригонометрические соотношения, методы векторной алгебры и координатной геометрии, а также свойства плоскости, перпендикулярной прямой.