Номер 10.1, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки A до прямой:
а) $BC$;
б) $BD$;
в) $C_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a=1$.

Найти:

a) Расстояние от точки A до прямой BC.

б) Расстояние от точки A до прямой BD.

в) Расстояние от точки A до прямой $C_1D_1$.

Решение

Для удобства введем декартову систему координат с началом в точке A. Пусть ребра AB, AD, $AA_1$ лежат по осям x, y, z соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

a) BC

Прямая BC проходит через точки $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$.Рассмотрим треугольник ABC. Ребра AB и BC являются ребрами куба, исходящими из одной вершины B. Угол ABC между ними составляет $90^\circ$, так как AB лежит на оси x, а BC параллельно оси y.Следовательно, отрезок AB перпендикулярен прямой BC.Расстояние от точки A до прямой BC - это длина перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую BC. В данном случае таким перпендикуляром является отрезок AB.Длина отрезка AB равна длине ребра куба, то есть $a=1$.

Ответ: $1$

б) BD

Прямая BD проходит через точки $B(1,0,0)$ и $D(0,1,0)$.Точка A имеет координаты $(0,0,0)$.Рассмотрим треугольник ABD. Это прямоугольный треугольник, так как угол BAD равен $90^\circ$ (ребра AB и AD перпендикулярны).Длины катетов: $AB = a = 1$ и $AD = a = 1$.Длина гипотенузы BD (диагональ квадрата основания) равна $BD = \sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.Расстояние от точки A до прямой BD - это длина высоты $h$, опущенной из вершины A на гипотенузу BD в треугольнике ABD.Площадь треугольника ABD можно найти как:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.Также площадь треугольника ABD равна:$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$.Приравнивая два выражения для площади, получаем:$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot h$$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя формулу расстояния от точки до прямой:Точка $P = A(0,0,0)$. Прямая проходит через $P_0 = B(1,0,0)$ с направляющим вектором $\vec{d} = D - B = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1,1,0)$.Вектор $\vec{P_0 P} = \vec{BA} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1,0,0)$.Векторное произведение $\vec{BA} \times \vec{d}$:$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = (0,0,-1)$.Модуль векторного произведения $|\vec{BA} \times \vec{d}| = \sqrt{0^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{1} = 1$.Модуль направляющего вектора $|\vec{d}| = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$.Расстояние $d = \frac{|\vec{BA} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

в) $C_1 D_1$

Прямая $C_1 D_1$ проходит через точки $C_1(1,1,1)$ и $D_1(0,1,1)$.Точка A имеет координаты $(0,0,0)$.Вектор направления прямой $C_1 D_1$: $\vec{v}_{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (0-1, 1-1, 1-1) = (-1,0,0)$.Рассмотрим отрезок $AD_1$. Его координаты: $D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.Найдем скалярное произведение вектора $AD_1$ и вектора направления прямой $C_1 D_1$:$\vec{AD_1} \cdot \vec{v}_{C_1D_1} = (0,1,1) \cdot (-1,0,0) = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$.Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор $AD_1$ перпендикулярен прямой $C_1 D_1$.Следовательно, кратчайшее расстояние от точки A до прямой $C_1 D_1$ - это длина отрезка $AD_1$.Длина отрезка $AD_1$ - это длина диагонали грани $ADD_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1.$d(A, C_1 D_1) = |\vec{AD_1}| = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$