Номер 10.3, страница 66 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.3. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой:

а) $BB_1$;

б) $BC$;

в) $BA_1$.

Дано:

Призма $ABCA_1B_1C_1$ - правильная треугольная.

Длина всех ребер: $AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ: Все ребра имеют длину $L = 1$ (условная единица длины, т.к. конкретная единица не указана).

Найти:

Расстояние от точки $A$ до прямой: a) $BB_1$; б) $BC$; в) $BA_1$.

Решение:

a) $BB_1$

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Прямая $BB_1$ является боковым ребром призмы. Основание $ABC$ - правильный треугольник со стороной 1.

Боковые грани призмы являются прямоугольниками. Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Это прямоугольник, так как боковые ребра правильной призмы перпендикулярны основаниям.

В прямоугольнике $ABB_1A_1$, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BB_1$ (так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а $AB$ лежит в этой плоскости).

Таким образом, отрезок $AB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $BB_1$.

Длина отрезка $AB$ равна 1 по условию.

Ответ: $1$

б) $BC$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ - это длина высоты, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$ в треугольнике $ABC$.

Треугольник $ABC$ - правильный со стороной $a = 1$.

Высота $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = 1$, поэтому $h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

в) $BA_1$

Расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ - это длина перпендикуляра, опущенного из $A$ на прямую $BA_1$.

Рассмотрим плоскость, содержащую точки $A$, $B$, $A_1$, $B_1$. Это боковая грань $ABB_1A_1$.

Грань $ABB_1A_1$ является прямоугольником. По условию, все ребра равны 1, значит, $AB = 1$ и $AA_1 = 1$.

Следовательно, $ABB_1A_1$ - это квадрат со стороной 1.

Прямая $BA_1$ - это диагональ этого квадрата.

Нужно найти расстояние от вершины $A$ до диагонали $BA_1$. Пусть $AK$ - искомый перпендикуляр, где $K$ лежит на $BA_1$.

Треугольник $ABA_1$ - прямоугольный с прямым углом при вершине $A$ (так как $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а $AB$ лежит в этой плоскости).

Площадь треугольника $ABA_1$ может быть выражена двумя способами:

1. Как половина произведения катетов:

$S_{ABA_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Как половина произведения основания $BA_1$ на высоту $AK$.

Сначала найдем длину диагонали $BA_1$ в квадрате $ABB_1A_1$ по теореме Пифагора:

$BA_1^2 = AB^2 + AA_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

$BA_1 = \sqrt{2}$.

Тогда $S_{ABA_1} = \frac{1}{2} \cdot BA_1 \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AK$.

Приравниваем выражения для площади:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot AK$

$1 = \sqrt{2} \cdot AK$

$AK = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$